e il 1° termine, se % x . . . . | 2 è un tratto rettilineo, di quelli menzionati nell'enunciato, 



si può scrivere 



4 



o(a;).fy(a>, y {x)) da? = o{oo)f y {a}, y Q (x))dx H- o{x)f y {oo ì y (x)) dx 



o{x)f y (x, y {x))dx 



ma, lungo uno dei tratti rettilinei di y (x), o{x) deve essere' costante r: donde si 

 vede che i tre integrali del 2° membro sono, per l'ipotesi fatte su f y (_x, £/ (a?)), 

 nulli : quindi si riduce 



! ^ — 2 

 Al — - o(a?) . fy, y {x, y (x)) -+- 6(x) q(x)) dx 

 J*i 



e ancora 



JX\ Jxj. 



dove (j(.r) è piccola quanto vuoisi se è piccola o(x). 



Se fy.yipc, y {°°)} e ^ n °°\ x 2 sem P re di un segno o nulla, non però sempre 



nullo, dello stesso segno sarà A/ per tutte le o(x) abbastanza piccole : perchè per 

 tali o(x) V integrale 



a{x).fy y (x, y {x))dx 

 Jxi 

 dà il segno a Al. 



Per y = y (x) si avrà dunque un minimo, se sarà in x^ . . . . x 2 



fy.y( x : 2/o<H)> ° : 



un massimo nel caso contrario. 



Ben inteso, che il minimo o il massimo, che la y {x) dà in queste condizioni, è un 

 minimo o massimo relativo, giacche la y (x) e confrontata solo con le y(x)=y (x)-^-G)(x) 

 prossime alla y (x), affinchè rimangono valide le considerazioni dianzi fatte sul segno 

 dei due primi termini nello sviluppo di Al. 



14. Se poi f y y (x, y (x)~) in x } . . . . x 9 avrà valori positivi e negativi non si avrà 

 né massimo, né minimo di I(y). Se in un tratto di y {x) è f y , y (x, y (x)~) positivo, e 

 in un altro negativo, e a ognuno di questi tratti è adattabile una o(x) diversa da zero 

 nel tratto e nulla negli estremi e fuori, senzadio y(x) = y (x) -+- o(x) esca dalla va- 



rietà, si avrà o(x) f y>y (x, y^{x)) rispettivamente positivo, o negativo e fuori nullo: 

 salvo se la f y , y {x, y(x)~) abbia sempre uno stesso segno per tutta la y — y Q (x) e ii 



