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segno opposto solo in un tratto di y = y {^) interno a un tratto rettilineo di coeffi- 

 ciente angolare l, ovvero L : nel quale caso la decisione non è possibile. 



15. Si ricordi ora un noto resultato sulle Funzioni implicite (*). 



Sia <p{x, y) una funzione continua assolutamente in una regione A del piano, il 

 contorno incluso ; e ammetta ivi la derivata parziale <p y (x, y), rispetto a y, sempre 

 di un segno. Se esiste dentro A un punto {& y ) nel quale è 



^K^o^o) = K ^ K fisso) 



esiste, in tutto un determinato intervallo, una funzione y = y{x) che rende 



00», vip)) = K 



e questa y(x) è unica in queir intervallo. Inoltre la curva y ~ y(x) attraversa tutta 

 la regione A, intendendosi che se C e il contorno composto di un 1 unica curva con- 

 tinua chiusa e priva di punti multipli, la curva y = y(x) si estende dalle due parti, 

 rispetto a (x y ), sino all' incontro con C. 



In applicazione a questo resultato, pongasi che la fy.y'oc, y) sia sempre di un segno 

 nella regione fra le due estreme y = U(x) e y = V(x). 



Si abbia sempre 



\fy i y( ao i V)\ > m 



m numero maggiore di zero : esiste anche f y x (x, y) : si avrà 



-B<~ f f^\<B 

 fy,yfa U) 

 B numero determinato. 



Si immagini nella regione la varietà di funzioni y = y(x), passanti pei punti 



P e P e sodisfacenti alla condizione 



^ i/(x-hh) — y{a;) ^ ^ 

 h 

 dove è /< — B e Z > B. 



Vi sarà nella varietà quella che dà il minimo assoluto di I(y) : questa y = y (x) 

 sia interna : sodisfarà alla 



fy(v, y W=° 



in tutto il suo percorso, fuor che in possibili tratti rettilinei di coefficiente angolare l, 

 ovvero //: ma, nelle ipotesi nostre, l'eccezione di tali tratti rettilinei sparisce. 



Invero vi sia un tale tratto nella y = 2/ o 0») e siano £ e | 9 gli estremi di esso 



(*) Vedere la mia nota: « Sull'inversione di un sistema di funzioni » nei Rendiconti delle 

 Scienze di Bologna (1903): e anche Kneser, Mathematiche Annalen 45 Band. 



Serie VI. Tomo VII. 1909 10 41 



