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 sulla y = y{a>). Dentro al tratto vi sarà almeno un punto (x 1 , y x ) in cui è 



e da {x l , //j) partirà, dalle due parti, una curva y = Y (x), che, perla unicità, dovrà 

 riattaccarsi in | t e £ 2 con la y = y (x); e questa ?/ — Y Q (x) apparterrà bene alla 

 varietà, perchè il suo coefficiente angolare in qualsiasi punto, 



cade tra — B e Z? ; e così tra l e L. Ma, d'altronde le y = F (a?) dovrebbe avere 

 in qualche punto una tangente eli coefficiente angolare maggiore di l, o minore di L, 

 perchè il tratto rettilineo detto è corda di un arco di essa : questa contraddizione 

 mostra che il tratto rettilineo nella y — y (x) non esiste, ovvero, esso pure sodisfa 

 in ogni punto alla 



f y (.v y (x)) = 



e così coincide con la y = Y (x). 



Concludendo, nell' ipotesi di f y , y (x, y) sempre di un segno, la curva y — y (x) pas- 

 sante per Pj e P 9 sodisfa 



fyipo, y ( x )) = ° 



in tutto x . . . . x 2 : si distinguerà il massimo e il minimo, a seconda del segno di 



fy,y\P°i II)- 



Osserv. — Si riconosca che nella regione vi è un punto interno (x , y ) in cui è 



vi sarà una curva y = y(a?) che sodisfa alla 



/V(*, W) = o 



e va da un punto M del contorno a un altro N. 



Il punto M sia nel percorso della y — Y (x) il primo punto che s' incontra, da 

 una parte di (x Q y), sul contorno della regione: il punto N sia il primo dalla parte 

 opposta : allora questo arco di curva, interno, y = YJx), farà parte della curva di 

 minimo, o massimo : la quale curva conterrà allora, altre parti coincidenti col con- 

 torno della regione, sino a raggiungere P e P . 



16. Nelle ipotesi fatte per la f(x, y), f y (x, y), fy iX {x, y), fy iV {x, y) valide per 

 tutta la regione tra le due parallele air asse y per P e P g , si può aggiungere un'ovvia 

 osservazione. 



Se vi è interno un punto (x Q , y ) in cui è 



