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e quindi un' unica curva y = // n (- r ) che sodisfa la 



f y (x, y {) {x)) = 



e incontra le parallele dette nei punti M e N; la y = y Joa) dà il minimo, o il mas- 

 simo, assoluto di I(y) per tutte le curve 



y = Y(.r) 



che uniscono M con N : a seconda che è f yiJ {oo, y) positivo, o negativo. 

 Basta vedere la formula. 



•xo i r^i — 2 



-^ / = io(x) . f y {jxf, y Q {x)) dx H- - o(a?) . fy.yioc, y (x) -+- d(x) G){xj) dx . 



17. Vogliamo per ora terminare con un'osservazione: Se è \y x \ la maggiore tra 

 \y\ e \y 9 \ e \L\ pure il maggiore tra \l\ e \L\, tutte le funzioni |y(a?)| per la 

 varietà, saranno certo inferiori a 



I V\ I ■+" I °°2 — X X I I L I • 



Ancora : se considerato 





in una varietà definita di enti ?/ = y(oc), si sapesse sempre riconoscere a priori che 

 l'ente che dà il massimo, o il minimo, di I{y) è interno alla varietà, ne discende- 

 rebbe senz'altro stabilita l'esistenza della soluzione per l'equazione funzionale 



f y {x, y{x)) — : 



donde si vede, che applicazioni analoghe del principio di minimo a questioni meno 

 semplici di questa, possono ben condurre a teoremi di esistenza per equazioni funzionali 

 (differenziali ecc.) più elevate. 



La difficoltà principale del metodo, -a voler dare un cenno generico, risiederà 

 nella definizione della varietà di enti, in modo che quello di essi che dà il massimo, 

 o il minimo, sia interno alla varietà. 



lo ne ho già fatta una laboriosa esperienza nella nota citata « Sul principio di 

 Diricldet » . 



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