Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 3 



d'un minimum absoln de IT, en entendant par la la plus petite parmi toutes les valeurs pos- 

 sibles de n. 



En effet, quelle que soit la figure considered , on peut toujours, en la deformant conve- 

 nablement, augmenter le moment d'inertie S d'une quantite aussi grande qu'on veut en nc 

 variant l'integrale 



dtdx 



JJ 



que d'une quantite aussi petite qu'on veut. On pourra done toujours diminuer II, et sa li- 

 mite inferieure precise ne sera atteinte pour aucune figure du liquide *). 



Par suite, il ne peut etre question que d'un minimum relatif de n, e'est a dire, que 

 d'un minimum vis-a-vis des valeurs que prend n pour des figures suffisamment peu differen- 

 tes de la figure d'equilibre. 



Or, s'il en est ainsi, on doit d'abord preciser ce qu'on veut entendre par de pareilles 

 figures; et je l'ai fait, en introduisant une certaine longueur que j'ai appelee Vecart entre la 

 surface de la figure considered et celle de la figure d'equilibre, et en exigeant que cette lon- 

 gueur soit assez petite. 



Je vais rappeler ce que j'ai entendu par cet element. 



Soient: F la figure d'equilibre considered et F une figure de meime volume, a laquelle 

 on veut comparer la figure d'equilibre. 



On peut admettre que ces deux figures aient pour centre de gravite un seul et m6me 

 point; car, d'une part, le centre de gravite, pour toutes les figures considerees, doit &tre situe 

 sur une droite donnee servant de l'axe du moment d'inertie S et, d'autre part, en imprimant 

 a la figure F un deplacement de translation parallelement a cet axe, on ne changera pas la 

 valeur de IL 



Cela pose, considerons un point P de la surface de F et designons par P un point de la 

 surface de F qui est le plus procbe de P. 



Quand on variera la position du point P et, par suite, aussi celle du point P , la di- 

 stance PP variera et, pour une certaine position du point P, deviendra la plus grande 

 possible. 



C'est ce maximum de PP que j'ai appele l'ecart dans le cas ou F est une figure de 

 revolution autour de l'axe du moment d'inertie S. 



Quant au cas ou F n'est pas une telle figure, auquel cas le maximum de PP peut 

 varier quand on fait tourner la figure F autour de l'axe du moment d'inertie S, j'ai pris 

 pour mesure de l'ecart la plus petite valeur que ce maximum peut alors atteindre, en fai- 



*) En effet, clans le cas de cette limite inferieure, S doit etre infini et, en meme temps, l'integrale ci-dessus 

 doit atteindre sa limite superieure precise pour un volume donne. Or, j'ai etabli ailleurs que cette limite superieure 

 ne peut correspondre a aucune figure autre que la sphere. 



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