PROBLEME DE MINIMUM DANS UNE QUESTION DE STABIL1TE DES FIGURES D'EQUILIBRE. 5 



tion telle que ce nombre soit aussi petit qu'on veut. On ne pourra done assigner a a aucune 

 autre limite inferieure que zero. 



Outre le postulat qui vient d'etre indique, j'en ai admis dans mon Memoire encore un 

 autre, dont je m'etais servi non pas dans la recherche des conditions de minimum, mais 

 dans la demonstration d'un theoreme a l'appui des conclusions sur la stability. 



Pour enoncer ce postulat, je dois d'abord rappeler la signification d'un terme que j'ai 

 employe. 



Soit F' la partie de la figure F situee a l'exterieur de la surface de la figure F . 

 Quand on fera tourner la figure F autour de l'axe du moment d'inertie S, le volume de F', 

 si F n'est pas une figure de revolution, variera en general, et la plus petite valeur que ce 

 volume pourra ainsi atteindre represente ce que j'ai appele la deviation de la figure F a 

 partir de la figure F . 



Cela pose, j'ai admis que, dans le cas de minimum, si Ton considere l'ensemble des 

 figures F, pour lesquelles l'ecart est au-dessous d'un nombre assez petit et la deviation a 

 une valeur donnee non nulle, l'accroissement ATI, tout en restant positif, aura pour limite 

 inferieure precise un nombre different de zero. 



Or il est evident que e'est une proposition qui n'est pas de nature a pouvoir 6tre ad- 

 mise sans demonstration. 



Par ce que j'ai dit, on voit que mon analyse a laisse beaucoup a desirer et qu'elle 

 demande a 6tre completee sous bien des rapports. 



C'est ce qui m'a engage a reprendre le probleme, que je me propose de presenter main- 

 tenant sous un nouveau jour. 



Je ferai voir que le probleme de minimum de n pour les figures ellipsoi'dales est 

 susceptible d'une solution complete et rigoureuse dans des suppositions les plus generates. 



Je commencerai pour cela par quelques recherches preliminaries, qui permettront de 

 presenter l'accroissement All sous une telle forme que l'exactitude des deux postulats dont 

 j'ai parle plus haut en resultera immediatement. 



De cette facon les conclusions que j'ai tirees de la consideration de la variation seconde 

 de n seront pleinement justifiees. 



Je developperai ensuite une methode generate pour resoudre le probleme dans les cas 

 singuliers ou la variation seconde no suffit pas. 



Dans ces cas le probleme a un lien intime avec celui que je viens d'etudier dans mon 

 dernier Memoire, consacre aux figures d'equilibre non ellipso'idales qui derivent des ellipsoi- 

 des de Maclaurin et de Jacobi*); et c'est seulemeut grace aux resultats acquis dans ce 

 Memoire que j'ai pu aborder le probleme de minimum dans les cas dont il s'agit. 



Je traiterai enfin le probleme de minimum pour le cas des figures d'equilibre que je 



*) Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipso'ides d'une masse liquide homoyene douee d'un mouvement 

 de rotation, premiere Partie. — Edition de 1'Academie des Sciences de St.-Petersbourg, 1906. 



