Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 

 D'une maniere analogue, pour un poiut quelconque de l'espace, uous poserons 



( % = Vp -+- 1 -+- u sin cos ^, 



(1) ' y = V p -+- q h- u siu sin •>];, 



| £ = Vp-t-it cosG, 



en entendant par w un nombre assujetti a l'inegalite 



u > — p. 



Ainsi, ce nombre etant fixe, les equations (1) representeront un ellipsoi'de bomofocal a 

 l'ellipsoi'de E, et si, et <]/ etant fixes, on donne a u une suite de valeurs differentes, ces equa- 

 tions donneront ce qu'on appelle des points correspondants. 



Soit maintenant F une figure quelconque pour laquelle on veut determiner l'accroisse- 

 ment de n dans le passage de l'ellipsoide E. 



Pour definir cette figure, il suffit d'indiquer, pour les points de la surface de l'ellipsoi'de, 

 les points correspondants de la surface de la figure, et on le fera en admettant pour cette 

 surface les equations de la forme 



x = "j/p -+- 1 -+- Z sin 6 cos ^, 



y = Vp -+- q -+- Z sin sin vp, 



z = Vp -i-Z cosO, 



ou Z est une fonction donnee de et <\>. Mais, en se pla^ant a un point de vue general, on 

 ne doit pas supposer que Z soit une fonction uniforme, car, en general, il faut admettre qu'a 

 un point de la surface de l'ellipsoi'de peuvent correspondre plusieurs points de la surface 

 deF. 



Ainsi la fonction Z pourra etre multiforme, et nous supposerons seulement qu'elle soit 

 definie pour toutes les valeurs de et >| de maniere a verifier toujours l'inegalite 



Z > — p. 



Nous supposerons d'ailleurs que les points, obtenus par les formules (1) en fixant G et ty 

 et en donnant a u toutes les valeurs entre — p et la valeur la plus petite de Z pour les 

 valeurs considerees de 8 et ty, soient interieurs a la surface de la figure F. 



Du reste nous ne considererons que des figures suffisamment peu differentes de l'ellip- 

 soide E, en les definissant comme celles pour lesquelles la plus grande valeur absolue de la 

 fonction Z est assez petite. 



