A. LlAPOUNOFF. 



2. Considerons l'integrale de volume 



J 



ou <I> est une fonction donnee de x, y, z, et supposons que l'on veuille determiner l'accrois- 

 sement de cette integrate dans le passage de l'ellipsoi'de E a la figure F. 



Par les surfaces de ces deux figures, l'espace sera divise en plusieurs portions separees 

 que nous allons grouper en quatre domaines suivants: 1° le domaine D e dont les points se 

 trouvent a l'exterieur des deux figures, 2° le domaine D { dont les points se trouvent a l'inte- 

 rieur des deux figures, 3° le domaine D e dont les points sont exterieurs a E et interieurs a 

 F, 4° le domaine B i dont les points sont interieurs a E et exterieurs a F. 



Soient dt et d^ t les elements de volume qui appartiennent respectivement a D e et 



aD r 



Alors, pour l'accroissement dont il s'agit, nous aurons 



(**.--[**„ 



les integrations etant etendues a tout le domaine D e et a tout le domaine D r 

 Or cette expression peut etre presentee encore sous une autre forme. 

 Introduisons pour cela une fonction discontinue K que nous allons definir comme 



il suit: 



dans le domaine D e , K = 0, 



» » » D e , K = 1 , 



» » » J) . . K = — 1 . 



» » » !)[.. K = 0. 



Par ces conditions, la fonction R sera definie partout, sauf pour les points des frontieres 

 des quatre domaines consideres. Mais, quant a ces points, il est inutile de preciser les va- 

 leurs de R, et Ton pourra y attribuer a cette fonction une quelconque de ses valeurs limites. 



Cela pose, Texpression de l'accroissement cherche pourra se mettre sous la forme 



| <S>KdT, 



l'integrale s'etendant a une portion quelconque de l'espace qui renferme les domaines D e et 

 D. tout entiers. 



1 



Supposons maintenant que l'on introduise, au lieu des coordonnees rectangulaires, les 

 variables u, 0, ty a l'aide des equations (1). 



