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Nous allons montrer que la difficulte qui eu provient n'est qu'apparente. 



3. Par la nature de notre probleme, la figure F doit avoir un volume mesurable. 



Or, s'il en est ainsi, la fonction R doit etre integrable dans tout domaine de l'espace 

 qui a un volume mesurable. 



En effet, si Ton a deux figures, dont cbacune a un volume mesurable, les parties, en 

 lesquelles l'une d'entre elles sera divisee par la surface de l'autre, auront encore des vo- 

 lumes mesurables. C'est ce qui resulte de la nature meme de la condition qui exprime qu'un 

 volume, limite par une surface donnee, soit mesurable *). 



Done tout domaine de volume mesurable sera divise, par les surfaces de la figure F et 

 de l'ellipsoi'de E, en des parties de volume mesurable; et de la, eu egard a la definition de la 

 fonction K, on conclut immediatement que cette fonction sera integrable dans un domaine 

 mesurable. 



Par suite, si <£ est une fonction continue, le produit R4> y sera encore integrable. 



Cela pose et en entendant par <1> une fonction continue, considerons l'integrale 



J 



4>KrfT 



etendue au domaine, limite par les surfaces de deux ellipsoides bomofocaux ayant pour 

 demi-axes 



Vp-i-l — L, Vp-t-q—L, V ? — L 



et 



Vp-f-l-t-L, Vp-i-q-+-L, Vp-t-L. 



C'est l'integrale que nous avons envisagee plus baut. 



D'apres ce que nous venons de dire, cette integrate aura toujours un sens determine 

 comme limite d'une somme de la forme 



2 *K At, 



obtenue en decomposant le domaine considere en des elements de volume At et en multipliant 

 cbaque element par une valeur quelconque dont la fonction OR est susceptible dans l'etendue 

 de cet element, II faut seulement que la decomposition en des elements varie de telle maniere 

 que les plus grandes dimensions lineaires de tous les elements tendent vers zero. 



*) On peut, en effet, enoncer cette condition ainsi: quelle que soit la loi d'apres laquelle on decompose l'espace 

 en des elements de volume, la somme des elements, ayant des points communs avec la surface consideree, doit tendre 

 vers zero, quand, le nombre de ces elements croissant indefiniment, toutes les dimensions lineaires de chaque element 

 tendent vers zero. 



