Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 1 1 



Or, prenons pour les elements At ceux en lesquels le domaine considere sera divise par 

 une serie de surfaces appartenant a la famille des ellipsoides homofocaux a l'ellipsoide E et 

 par des surfaces quelconques orthogonales a cette famille. 



Pour definir ces dernieres surfaces, il suffit de donner leurs lignes d'intersection avec la 

 surface de l'ellipsoide E, et ces lignes peuvent etre defmies par des lignes correspondantes 

 de la surface de la sphere 2, decrites par le point p que nous avons introduit plus haut. 



De cette fagon, si nous decomposons la surface de la sphere 2 en des elements Act, les 

 contours de ces elements definiront certaines surfaces orthogonales a la famille des ellip- 

 soides, et ces surfaces, aves celles de la serie des ellipsoides, definiront les elements de vo- 

 lume que nous prendrons pour les At. 



Cela pose, si nous designons par Am l'accroissement de u dans le passage de l'un de 

 deux ellipsoides consecutifs de la serie considered a un autre, nous aurons 



At = — ( 1 -*- e) G Act Am , 



ou G est la valeur de la fonction G(p-*-u, 0, <L) en un point quelconque de l'element At; 

 quant a e, c'est une quantite tendant vers zero, et cela uniformement pour tous les elements 

 At, quand kit et la plus grande dimension lineaire o de l'element Act tendent tous les deux 

 vers zero. 



D'apres cela il viendra 



(2) f^R^T = y lim2 te^^GKbu, 



ou l'une des deux sommations indiquees s'etend a tous les Am pour un seul et meme element 

 Act, l'autre, a tous les elements Act, et ou, en passant a la limite, on peut faire tendre vers 

 zero les Aw et les 8 independamment les uns des aatres. 



On peut supposer que les valeurs attribuees a et <\>, pour tous les termes de la somme 



(3) 2<I>GK 



Am, 



soient les memes. 



Alors, si R devient pour ces valeurs une fonction de u integrable dans l'intervalle 

 ( — Ij : -+- L), la somme ci-dessus tendra vers une limite determinee, qui representera l'in- 



tegrale 



1 



<PGKdu. 



-L 



D'ailleurs, si cela a lieu pour toutes les valeurs de et <\>, cette limite representera 



