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une fonction de 6 et <\> qui sera necessairement integrable sur la surface de la sphere E, et 

 l'expression (2) se reduira a celle du numero precedent. 



Mais bien qne K, comme fonction de u, 6, <\>, soit integrable dans le domaine considere, 

 en general il n'est pas permis de supposer que, pour des valeurs donnees de et ip, ce soit 

 aussi une fonction integrable de u. II faut done admettre la possibility des cas ou la somme 

 (3) ne tende vers aucune limite, tant qu'on ne precise pas les valeurs que Ton veut attribuer 

 aux facteurs des Aw. 



Or, ces valeurs etant, jusqu'a un certain point, en notre disposition, nous pourrons 

 toujours faire en sorte qu'il y aura une limite pour la somme en question. 



Nous pouvons, par exemple, supposer que cbaque element Au soit multiplie par le 

 maximum*) de la fonction 4>C?K dans l'intervalle (a, u-*-An). La somme (3) tendra alors 

 vers une limite determined, representant ce qu'on appelle inter/rale par exces. 



Rien n'empecbe aussi de supposer que tous les Au soient multiplies par les minima de 

 4>(9K dans les etendues de ces elements, et Ton aura alors une limite, connue sous le nom de 

 V integrale par defaut. 



Ces deux limites, qui representeront des fonctions parfaitement determinees de et ^, 

 seront en general distinctes. Mais cela importe peu et nous pourrons nous servir indifferem- 

 ment de l'une ou de l'autre, dont cbacune sera une fonction integrable sur la surface de la 

 sphere 2 et, etant integree, conduira a un meme resultat. 



Nous pourrons ainsi toujours ecrire 



-L 



en entendant par le symbole 



f OKcfr = -^- f tf<7 J <PGKdu, 



(4) f + ^GKdu 



-L 



une integrale par exces ou une integrale par defaut. 



D'ailleurs rien n'emp^che d'adoptcr pour ce symbole une autre definition quelconque, 

 resultant de la consideration de la somme (3), et ce sera alors une fonction dont les valeurs 

 seront toujours comprises entre celles des deux integrates precedentes. 



Comme dans la suite la fonction 4> pourra varier d'une formule a une autre, il est a 

 preferer une definition qui soit independante des proprietes de cette fonction, et Ton y par- 

 viendra en ne precisant, dans les termes de la somme (3), que les valeurs de la fonction K. 

 Cela est permis, puisque, la fonction <PG etant continue, Taccroissement que recevra la 

 somme (3) par suite dun changement des valeurs de cette fonction dans les etendues des 



*) Pour abreger, nous disons ici «maximum» au lieu de cdimite superieure precise». Dc meme, nous dirons 

 ominimum» au lieu de «limite infeiieure i)iecisew. 



