Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 13 



elements Au tendra necessairement vers zero. On pourra done laisser ces valeurs iudeter- 

 minees. 



On aura une pareille definition en supposant que, dans tous les termes de la somme 

 considered, on prenne pour K soit ses maxima,, soit ses minima dans les etendues des elements 

 correspondants Au; car il est facile d'etablir que, dans cliacune de ces deux suppositions, la 

 somme (3) tendra vers une limite determinee*). 



Plus generalement, en designant le maximum et le minimum de la fonction R dans 

 l'eteudue de l'element Au respectivement par K' et par K^ et en entendant par # une frac- 

 tion positive ne dependant point de u, mais pouvant dependre de 6 et <\>, on pourra poser 

 dans la somme (3) 



K = b¥J -+■ (1 — d)K x . 



Cette somme tendra alors encore vers une limite determinee qui peut etre prise pour defini- 

 tion du symbole (4). 



En s'arr£tant a une pareille definition, on pourra ensuite operer avec le symbole (4) 

 comme avec une veritable integrate. 



Par exemple, 4> x et <1> 2 etant des fonctions continues dans Fintervalle (a, &), on aura 



r>b r>b r-b 



du : 



ou nous avons omis le facteur G, qui est ici inutile. 



Dans la meinie supposition, si la fonction 4> 2 K ne change pas de signe dans Fintervalle 

 (a, 6), on pourra ecrire 



^^Kdu = (Qj) <P 2 Kdu, 



(4>j) etant un certain nombre intermediaire entre les valeurs, la plus grande et la plus petite, 

 de la fonction <$> 1 dans Pinter valle (a, b). 



D'autre part, en remarquant que les symboles 



3yK$to et (p^Kdu 



-a "- a 



representeront des fonctions de u continues dans l'intervalle (a, b), on aura une formule 



*) Pour cela on considerera d'abord le cas ou la fonction <1> est toujours positive dans l'intervalle ( — L, -t-L). 

 Alors les deux limites dont il s'agit ne seront autre cbose que les integrates par exces et par defaut. Quant au cas 

 general, on le ramenera au precedent, en presentant la fonction <r> sous la forme d'une difference de deux fon- 

 ctions positives, ce qui se peut d'une infinite de manieres. 



