14 A. LlAPOUNOFF. 



d'integration par parties sous la forme 



<J>,K^ ) 4> 2 Kdw H- ( * 2 R^m) 4> x K^( = <I>,Ktfu- <J> 2 Kd*. 



Si a ces formules, que Ton etablit facilemeut en partant de la definition preccdente, 

 on en ajoute celle-ci 



J->c />b ,-«c 



<$>Kclu= <$>Kdu -+- <i>Kdu, 

 a J a J b 



ou la fonction <P est supposee etre continue dans chacun des deux intervalles (a, h) et (b, c), 

 toutes les operations seront epuisees que nous aurons a effectuer avec le symbole (4). 



Nous pourrons ainsi envisager ce symbole comme uoe integrate et, en meme temps, 

 supposer que ce soit une fonction du point p integrable sur la surface de la sphere E. 



En terminant remarquons que, bien que nous ayons suppose que la fonction <£> soit 

 continue dans le domaine envisage, cela ne nous empechera pas de considerer les integrales 

 de la forme 



J 



<*>Kdx, 



etendues a un domaine D ou cette fonction peut devenir infinie. En effet, une pareille inte- 

 grale n'est autre chose qu'une limite d'une integrate de la ni6me forme, que Ton obtient en 

 remplagant le domaine D par un domaine variable, tendant a se confondre avec D, et tel 

 que la fonction 4> n'y devienne jamais infinie. Done, en realite, nous n'aurons affaire qu'avec 

 des integrales ou la fonction <£ reste toujours continue*). 



4. Kevenons a notre objet et commengons par ecrire les conditions que la figure F 

 devra remplir. 



Tout d'abord, on a la condition que le volume de cette figure soit egal a celui de 

 1'ellipso'ide E. En l'exprimant, nous aurons 



J*f« 



du = 0, 



ou, pour simplifier, nous n'avons pas ecrit les limites, — L et -+- L, de l'integrale relative 

 a u. 



*) Les considerations que nous venons de developper sont eyidemment applicables non seulement a, la fonction 

 K definie au n° 2, mais encore a toute autre fonction, qui est integrable dans tout domaine mesurable de l'espace. 



