Proisleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 1 7 



Pour tout poiut (0, <\>) de la surface de la sphere S, quand u se trouve dans l'intervalle 

 (0, '(), on a 



et, des que u est en dehors de cet intervalle, 



x = R. 

 Ainsi, dans l'intervalle (0, '(), il viendra 



R = x ± 1 , 



ou Ton doit prendre celui des deux signes qui appartient a £. 



On voit par la, en se reportant a la definition de la fonction R (n° 2), que la fonction x 

 jouera par rapport a la figure f un role tout semblable a celui que jouait la fonction R par 

 rapport a l'ellipsoide E. Elle sera, en effet, egale a zero en tout point de l'espace qui se 

 trouve, soit a l'exterieur, soit a l'interieur des deiix figures f et F, et se reduira a ±1 en 

 des points qui sont exterieurs par rapport a une de ces deux figures et interieurs par rapport 

 a une autre, le signe -+- correspondant aux points exterieurs a la figure f et le signe — , aux 

 points interieurs a f. 



De cefte fagon, si l'on pose 



u — •( -+. 5, 



la fonction x sera egale: pour des valeurs positives de H, a ou a 1 et, pour des valeurs ne- 

 gatives de £, a ou a — 1, de sorte que le produit x£ ne sera jamais negatif. 



Ayant ainsi defini x, que nous allons considerer comme une fonction de <;, G, <\>, nous 

 aurons evidemraent 



f ®GKdu={ ®Gdu-*-\ &Gxd$, 



X etant la plus grande valeur alsolue de la fonction Z — '( sur la surface de la sphere S, cette 

 valcur etant supposee suftisamment petite *). 



*) Si I'integrale qui figure au premier membre a'avait pas de sens direct, on lui attribuerait un certain sens 

 conventionnel, conformement a ce qui a ete dit au n° 3, et, en fixant ensuitc le sens de I'integrale 



J 



+x 



-x 



d'apres la relation qui existe entre les fonctions x et K, ou aurait encore l'egalite precedente. 



3an. 'Iiii3.-MaT. Ot^. 



