22 A. LlAPOUNOFF. 



Les coordonnees rectangulaires- etant exprimees au moyen des variables u, G, ■}, Fin- 

 tegrale U en deviendra une fonction ou il nous sera parfois necessaire de mettre en evidence 

 l'argument u. Nous la designerons alors par TJ(u). 



D'ailleurs, quand il faudra indiquer le corps dont tzU est le potentiel, nous employerons 

 un indice, en designant par U ce que devient II pour l'ellipsoide E et par U f ce que 

 devient cette fonction pour la figure f. 



Quand nous aurons a considcrer siniultanement deux points, (w, 0, ^) et (u 1 , Q', ■}'), les 

 valeurs relatives a ces points d'une fonction quelconque de w, 0, <\> seront designees par la 

 meme lettre, mais pour le second point cette lettre sera affect ee d'un accent. Aiusi "(' sera 

 ce que devient Z, en remplac,ant 0, <\> par 6', i|/. De meme, en posant 



nous poserons 



«' _ n = V, G (p -e £'-*- *', 0'. ty) = G'. 



D'une maniere analogue, nous designerons par da l'element superficiel de la sphere £ 

 contenant le point (G', <]/). 



Cela pose, et en designant la distance entre les points («, 0, •}) et («', 0', '}'), quand il 

 faudra mettre en evidence les arguments u et u, par D(u, u), nous aurons 



4> F-f/*/^«-H0ff.«-Hl/*/ft.«J*'/ 5S ^f 





OU 



II. — RECHERCHE DE L'ACCROISSEMEHT KEDUIT. 



8. Arretons-nous d'abord au premier termc de la formulc que nous venous d'ecrire. 

 En entendant par U\u) la derivee par rapport a it de la fonction U(u) : nous aurons 



& etant une fraction positive convenablement choisic. 



Or, en faisant I et X suffisamment petits, on pourra rendre Vf(v) aussi pen different 

 de ?7 n '(0) que Ton veut, et il est facile d'obtenir, pour la valeur absolue de la difference 



^/» - ^o'(O), 

 une limite superieure ne dependant que de / et de X et tendant vers zero pour I = X = O. 



