24 A. LlAPOUNOFF. 



Par suite, en nous reportant a l'expression ci-dessus de U f (v), nous obtenons 



1 



Uj{v) — U' (0)\ < Nl -t- N'l -t- - \ Q ch', 



ou 



Q = 



C G' — l —r da' 



Jy dv D{v,u ) 



Cberchons maintenant une limite superieurc pour Q. 

 En posant, pour abreger, 



sinO cos^ = a, sinO sin'} — (3, cosO = y, 



sin 0' cos <{/ = a', sin 0' sin •]/ = B', cos 



nous aurons pour D 2 (v, u) cette expression 



1 5 



(Vp -f- 1 h- y a — Vp -+- 1 -+- it' a') 2 -t- (Vp +g + »p- Vp-i-gr-*- u' 3') 2 



d'ou il vient 



(V^y-V^y'Y, 



dD 2 (v,u') 



dv 



(l/ ? + l + va-Vp + l + «' a') 



y o -+- i -*- v 



et, par suite, 



dIP{v,u') 

 dv 



< 



D(v,u) 



D'apres cela on voit que, p -+- v etant supericur a uu nonibre positif fixe, la derivee 



1 



dv D(v,u') 

 uc depassera pas, en valeur absoluc, la quantity 



1 



multiplied par un nombre fixe. 



D\v,ii) 



Or on trouve facilement cette inegalite 



D 2 0, «') > V ? + v Vp h- u' [(a — a') 9 -+- ( 8 — 3' ) 2 -4- (1 y') 2 ], 



