Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 1 1 



Ainsi tout se reduit a cherclier le norabre t, et ce ne serait que dans le cas de t = 

 que cette recherche ne conduirait pas a une conclusion decisive. Mais, comme nous le ver- 

 rons plus loin, on pourra toujours faire en sorte que ce cas ne se presente pas: il n'y aura, 

 a cet effet, qu'a disposer convenablement de la figure auxiliaire f, que nous avons introduite 

 precisement dans le but d'eluder le cas dont il s'agit. 



Quant a la recherche du nombre t, on pourra se servir de la methode que nous avons 

 employee dans le Memoire Sur la stabilite des figures ellipsoidales d'equilibre. 



Cette methode consiste a developper la fonction t en une serie de fonctions spheriques 

 (sous la forme des produits de Lame); et, bien qu'elle semble imposer ainsi a cette fonction 

 certaines restrictions, elle est absolumeut generate, car l'expression qui en decoule pour la 

 formule (12) est valable dans tous les cas et ne depend en aucune fac/m de la supposition 

 que la fonction i soit reellement developpable en ladite serie. Cela resulte d'une proposition 

 sur les fonctions spheriques que j'ai rencontree depuis longtemps, et qui n'est aujourd'hui 

 qu'uu cas particulier d'un theoreme general du a M. Stekloff *). 



Je vais m'arreter a cette proposition, en reproduisant 1'analyse que j'ai develoj)pec 

 dans les seances de la Societe Mathematique de Kharkow en 1897, sans l'avoir encore 

 publiee. 



III. DEMONSTRATION D'UNE PEOrOSITION AUXILIAIRE. 



15. Soit F(6,(];) = F une fonction donnee sur la surface de la sphere S. 



Si cette fonction est developpable en une serie de fonctions spheriques, uuiformement 

 convergente sur ladite surface, nous aurons 



(i) i^e^^^-^H-r, -+-..., 



ou 



(2) Y n = ^ J JP(0', ■}') P w (cos <p) da\ 



P n (oc) etant le polynome de Legendre d'ordre n a l'argument x, et 9 representant l'angle 

 entre les directions (6,^) et (O',^')- 



*) Voir le Memoire de M. Stekloff, Sur certaines egalites generates communes a plusieurs series de fonctions 

 employees dans V Analyse {Mem. de V Academic des Sciences de St.- Petersbourg, V1H° serie, t. XV, 1904). 



3an. $U3. -MaT. Otj;. 



