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Nous auroDS eusuite 



(3) * _ J^ , *=2j? r «* r ' 



la somme etant etendue a n = 0, 1, 2, .... 



Or on pent montrer que cette derniere formule nc depend nullement dc la possibility 

 du developpement (1). 



C'est ce que nous allons faire raaintenant: en nous bornant a la supposition que la 

 fonction F soit limitee, nous allons etablir que l'egalite (3), ou les Y n sont donues par la 

 formule (2), a lieu toutes les fois que F est une fonction integrable sur la surface de la 

 sphere £, c'est- a -dire, toutes les fois que les integrates qui tigurent dans les formules (2) et 

 (3) out un sens communement adopte *). 



16. Soit 



(1 — >*)F{f)\y )fh' 



?> 



(1 — 2rcos^-*-r 2 )- 



r etant le rayon vecteur d'un point a l'interieur de la sphere S. 



C'est une formule bien connue, qui donne la solution du probleme de Di rich let pour 

 la sphere S, quand la fonction harmonique a l'interieur de cette sphere doit se reduire sur 

 la surface a la fonction jP(G,'J>); et Ton sait, en effet, que, si F est une fonction continue, 

 V tendra vers F, toutes les fois que r tend vers 1 en restant toujours moindre que 1 . 



Or, sans supposer que la fonction F soit continue, nous admettons seulement que c'est 

 une fonction integrable sur la surface de la sphere E. 



Dans ce cas, r tendant vers 1, V ne tendra, en general, vers aucune limite. 



Nonobstant cela, l'integrale 



J 



V— F\ da 



tendra toujours vers zero, comme nous allons le prouver a Tinstant. 

 Remarquons d'abord que l'egalite connue 



■r*)ch' 



= 1 



2rcos<p-i-r 2 ) 3 



*) Dans les raisonnemeuts qui vont suivre, nous supposons que F soit une fonction rcelle. Mais la proposition 

 que nous voulons etablir n'est pas, evidemment, sujette a cette restriction et, une fois etablie pour les functions reelles. 

 elle s'etend d'elle-meme au cas des fonctions a des valeurs complexes. 



