Probleme de minimum dans une question de stability: des figures d'kquilibre. 45 



t 



ce qui revient a dire que, r tendant vers 1, l'integrale 



{\V— F\da 



tendra vers zero. 



II ne reste done qu'a demontrer ce que nous avons dit au sujet de la somme (4) et, 

 pour cela, il suffit d'etablir que cliaque terrae de cette sorarae tend pour r=l vers zero. 



Considerons done l'integrale 



J = 



(1 — r 2 ) da da' 



(1 — 2rcos<p-t-r 2 ) 5 



en supposant cette fois-ci que les integrations s'etendent non pas a toute la surface de la 

 sphere, mais a des regions mesurables quelconques, or et a', en lesquelles on pourra diviser 

 cette surface en y tracant une ligne fermee. 



En decomposant l'une de ces regions, par exemple a-, en deux portions mesurables <j et 

 cr, , nous aurons 



J = J -t- J^ 



J et Jj etant des integrales de la m^me forme que J, oii les integrations relatives a dn sont 

 etendues respectivement a cr et a a l . 



Nous supposerons que <j 1 n'ait aucun point commun avec a-'. 



Or, en meme temps, on peut supposer que l'aire de <r , que nous designerons encore 

 par <t , soit aussi petite que Ton veut. 



Alors, comme on a 



J < 4tc^ , 



on pourra rendre J aussi petit qu'on veut en faisant a suffisamment petit et, d'autre part, 

 comme dans l'integrale J x Tangle <p admettra une limite inferieure non nulle, on pourra 

 rendre cette integrale aussi petite qu'on veut en faisant, apres avoir fixe cr et a-,, r suffisam- 

 ment peu different de 1 . 



On pourra done satisfaire de cette maniere a l'inegalite 



quelque petit que soit le nombre t, et de la on pent conclure que, r tendant vers 1, J tendra 

 vers zero. 



