Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 47 



Or la serie que Ton en deduit en posant r 2 — 1 est convergente. 

 En effet, en remarquant que la formule (2) donne 



f FY n de ^ f I%de, 

 et en faisant, pour abreger, 



Y^Y, -+-... HrT m = 8 mt 



on trouve 



n=m 



ce qui fait voir que 



ra==m 



2 fl*da<)F»d*, 



ra=0 



quel que grand que soit le nombre m; et cela prouve bien que la serie 



oo 



2 I r »^> 



dont tous les termes sont positifs, est convergente. 



Or, s'il en est ainsi, le tbeoreme connu d'Abel nous apprend que Ton a 



2 J Y*da = lim 2^ 2 " J Y*d*. 

 Nous parvenons done a l'egalite 



2 f*:* = )>^ 



qu'il fallait etablir. 



18. Signalons une generalisation immediate de notre proposition. 



Soient F et $ des fonctions quelconques de G et ^, integrables sur la surface de la 

 sphere 2. 



