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A cet effet nous remarquons que, 5 etant le moment d'inertie de la figure F, \8 — 8 \ 

 deviendra aussi petit qu'on veut, en faisant L suffisamment petit. 



Or S est egalement le moment d'inertie de la figure f. et cette figure tend a sc confondre 

 avec l'ellipso'ide E quand 8 — S tend vers zero. Done I tendra vers zero avec S — S . 



Par suite, L etant petit, I le sera aussi et, comme on a 



X <l -+- L, 

 X sera egalement petit. 



Ainsi, la supposition que I et X soient assez petits est equivalents a celle que L soit 

 assez petit. 



29. Voyons maintenant quelles sont les conclusions que Ton peut tirer de ce qui 

 precede. 



Pour que n soit minimum pour l'ellipso'ide E, sous telles ou telles conditions, il faut 

 et il suffit que son accroissement 



An = \u -h a.,h 



soit positif sous les m6mes conditions, toutes les Ms que L est au-dessous d'un nombre suffi- 

 samment petit. 



Or Ajll est ici une fonction de S — S qui reste toujours positive, en ne s'annulant que 

 pour S — S = 0, et A 2 I1 est une quantite dont le sigue, / et A etant assez petits, ne depend 

 point de la valeur de S — S . 



Par suite, pour qu'il y ait minimum, il faut et il suffit que A 2 n soit positif tant que 

 L est assez petit ou, ce qui revient au me"rne, tant que I et X sont assez petits. 



Nous sommes done amenes au probleme qui a ete pose au n° 1 4 et dont nous nous 

 sommes occupes dans la Section precedente, probleme ou tout aboutit a la recbercbe du signe 

 d'un nombre t ne dependant que de l'ellipso'ide E et des conditions sous lesquelles on veut 

 cbercher le minimum. 



Nous arrivons ainsi a cette conclusion: 



Pour que II soit minimum, il faut que le nombre t ne soit pas negatif, et, quand ce 

 nombre est positif, le minimum aura certainement lieu. 



Quant au cas ou t= 0, on ne pourra rien conclure sans une discussion speciale. 



C'est de pareils cas que nous avons appeles singuliers, et nous verrons dans ce qui suit 

 comment on les pourra traiter. 



Appliquons maintenant ce que nous venons de dire a quelques problemes determines. 



30. Supposons d'abord qu'il s'agisse de minimum non conditionnel. 



Alors, en nous reportant au n°12 et commen^ant par le cas des ellipsoides de Mac- 



