Problem de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 67 



Considerons encore le probleme de minimum ou, l'ellipso'ide E etant de revolution, on 



ne veut le comparer qu'a des figures qui ne changent pas quand on les tourne autour de l'axe 



2-z 

 du moment d'inertie S de Tangle -=p h etant un entier donne plus grand que 1. 



Supposons done que F soit une pareille figure. 



Alors la fonction Z et, par suite, aussi celle •/ ne changeront pas quand on remplace 



ty par ^n--r-« 



Comme on suppose 1c > 1, il en resulte que la fonction w ne dependra pas de vj/*), et, 

 vu cela, on conclut ensuite que la fonction t ne changera pas quand on remplace '\i par 



Cela pose, reportons-nous aux formules qui donnent les a ns , et qui, si s n'est pas nul, 

 peuvent s'ecrire, pour les ellipso'ides de revolution, comme il suit: 



y'n,i a n,2i-i = J^P n ,,(cose)sin^<7, 



l'n,l a n,2l = j f P n,l ( COsG ) C0S ^ <*»> 



Y^ { etant la valeur commune des deux integrales 



f [P nl (cosO)] 3 sin 2 **} da, f [P nl (cosO)] 2 cos 3 ^ d*. 



2tz 

 En remplagant, dans ces formules, sous les signes des integrales ^ par i| + t! on en 



deduit 



l^ 1- cos IT) a «^-i — sm T a w = °' 



2izl ( - 2nl\ _ 



sm -J- a n?i-i -*- ( 1 — cos -j- J a nn = 0, 



et de la, si -j- n'est pas un nombre entier, on tire 



a nM-l = a nfil = °' 



*) Rappelons que, dans le cas des ellipso'ides de revolution, on doit poser, dans l'exprcssion de w du 

 n° 12, c = 0. 



9* 



