Probleme pe minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 69 



Cela pose, la formule 



in,s J 



fait voir que, si la fonction E ns ([j.)E ns (v) change de signe quand on remplace '}, soit par 

 — '|, soit par tc — ^, on aura a ns = 0. On aura done cette egalite toutes les fois que la 

 fonction E ns {x) renferme, en facteur, au moins un des radicaux 



Vz 2 — 1, Vx*- 



r, 



et cela, avec les notations que nous avons adoptees, revient a dire que tous les a seront 

 mils pour lesquels 1'indice s n'est pas divisible par 4 *). 



Comme ce seront d'ailleurs les seuls a ns qui sont assujettis, par la condition consideree, 

 a etre nuls, nous pouvons en conclure, d'apres le n°25, que le signe de t sera celui de T 48 . 



Ainsi, sous la condition consideree, n sera minimum pour les ellipsoi'des de Jacobi qui 

 sont moins allonges que celui defini par Pequation 



T = 



-"-4,8 V 



et ne le sera pas pour les ellipsoides qui sont plus allonges. 



II y aura, du reste, deux cas singuliers: celui de l'ellipsoi'de de revolution et celui 

 ouT 48 =0. 



32. Les cas ou, dans Phypothese consideree au sujet de la figure f, le nombre t est 

 different de zero sont precisement ceux ou, en suivant les regies du Calcul des variations, 

 on pourrait se borner a la consideration de la variation seconde de FT. 



En effet, en formant cette variation, on verra que, dans le cas de t < 0, elle pourra 

 devenir negative, tandis que, dans le cas de t > 0, elle sera toujours positive et ne s'an- 

 nulera jamais. 



Nous avons vu que dans le premier cas il n'y aura pas de minimum et que, dans le 

 second, le minimum aura certainement lieu. Done les conclusions que 1'on pourrait tirer de 

 l'examen de la variation seconde se trouvent justifiees. 



Ainsi le premier des deux postulats, dont il a ete parle dans l'Introduction, peut &tre 

 regarde comme etabli. 



Montrons maintenant que le second postulat, t n'etant pas nul, decoule egaleraent de ce 

 qui precede. 



Ckerchons, dans ce but, une limite inferieure pour 



An = A x n -♦- A 2 n, 



en evaluant une limite inferieure pour chacun des deux termes. 



*) Sur les figures d'equilibre, n° 11. 



