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En commencant par A x n, reportons-nous a la formule (2), oil M est envisage comme 

 fonction de S en vertu des equations qui correspondent a la serie considered de figures ellip- 



7 71 T 



soidales d'equilibre. En entendant par -^ la derivee de cette fonction, nous aurons d'apres 

 la formule en question 



1 



Al — 2[S] 2 \_dS 



(SS f, 



les crochets carres designant que Ton doit prendre, pour les quantites en crochets, certaines 

 valeurs intermediates entres celles qui conviennent aux ellipso'ides E et f. 



Or on sait que la derivee -y~ ne s'annule jamais et represente uu nombre positif. Done, 

 si l'on assujettit I a 6tre au-dessous d'un nombre fixe, on pourra trouver un nombre positif 



fixe g, tel qu'on ait 



1 [dMl ^ 

 [S] 2 IdS J (h 



et des lors on aura 



A 1 U>±-g(S-S f. 



En passant ensuite a A 2 I1, faisons usage de l'inegalite (13) du n° 14, ou Ton peut 

 d'ailleurs remplacer l'integrale 



par celle-ci 



j(y*-*-?)d*, 



car, d'apres ce que nous avons vu au n° 13, le rapport de ces deux integrates est de la forme 



1 -+- hi h- til. 



En faisant ce remplacemcnt et en designant par t un nombre quelcouquc inferieur a t, 

 nous aurons, d'apres cette inegalite, 



* 2 n > t *o j (/?-*- r)*°: 



des que I et 1 sont assez petits. 



Ainsi, pour des valeurs assez petites de I et X, il viendra 



(3) All > ± (S-S T -*-±-t, j(y*-*-f)d<r, 



quel que soit le nombre t inferieur a t. 



