SO A. LlAPOUNOFF. 



qui y correspond soit egal a celui de l'ellipsoide E. Nous avons d'ailleurs montre" que, dons 

 ces conditions, |a| et |yj| etant assez petits, la fraction l est susceptible d'etre presentee 

 sous la forme d'une serie entiere en a et vj, 



Z = '( 10 a -*- <: 01 y] -f- 'C 20 a 2 -*- ^arj -+- ^,y) 2 h , 



ou les I sont des fonctions de et <b ne renfermant rien d'arbitrairc. 



■rs i 



Pour que cette fonction corresponde a une figure d'equilibre, les parametres a et r, 

 doivent 6tre lies par l'equation que Ton obtient en aunulant la constantc A. Mais a present 

 nous n'admettrons pas cette equation et, en nous arretant a l'expression ci-dessus de *(, nous 

 y laisserons les parametres a et •/) independants. 



Rappelons toutefois les principaux resultats que nous avons obtenus au sujet de l'equa- 

 tion A = 0. 



Rappelons d'abord que pour la constante A, en la developpant suivant les puissances 

 de a et 7], on a une expression de la forme 



A = Ay -i- Ay h 1- (B-t-2) 3t>i -+- G s rr h *), 



ou S designe une serie entiere en a et yj, s'annulant pour a = vj = 0, et les A p les 6". et B 

 sont des nombres determines, parmi lesquels celui B n'est jamais nul. 



De cette derniere circonstance nous avons conclu qu'il n'y a que deux manieres difte- 

 rentes de satisfaire a l'equation A = 0, quand | a I et | •/• | sont assez petits: l'une sc reduit a 

 supposer que ■/] soit une fonction de a de^•eloppable suivant les puissances entieres et posi- 

 tives de a, l'autre, si Ton considere a comme fonction de •/), donne pour cette fonction une 

 serie procedant suivant les puissances entieres et positives de r, ou il n'y a pas de termes 

 au-desous du deuxieme degre. 



La premiere supposition conduit a des figures d'equilibre uon ellipsoidales, sauf dans le 

 cas de m = Jc= 2, ou elle donne les ellipsoi'des a trois axes in6gaux de Jacobi; et, pour 

 toutes ces figures, la fonction '( sera developpable suivant les puissances entieres et posi- 

 tives de a. 



La seconde donne toujours des figures ellipsoidales. qui, dans le cas de m = k = 2, 

 sont celles de revolution. Pour ces figures, la fonction £ se presentera sous forme d'une serie 

 ordonnee suivant les puissances entieres et positives de r n ou le terme du premier degre sera 

 egal a "C 01 v). 



Cela pose, reportons-nous a l'expression generale de 'C, oil les parametres a et r t ne sont 

 lies par aucune relation, et cbercbons a determiner ces parametres de maniere a satisfaire 

 aux deux conditions dont nous avons parle au numero precedent. 



*) Sauf dans le cas de m = 2, k = 0, qui ne se presentera pas dans notre etude actuelle, puisque e'est toujours 

 un cas ordinaire. 



