82 A. LlAPOUNOFF. 



Pour l'equation (3), ces terraes s'obtiennent en developpant l'integrale 



{M 



Tda. 



Done, par la definition me:me du parametre a, ils se reduisent a un seul terme, qui est 

 egal aya. 



Quant a l'equation (4), les termes en question se trouveront en developpant l'integrale 



J (^(p-HCOS^n-^sin 2 ^) sin a 6 da. 



Par suite, en remarquant que 



%o = Y 

 et que l'integrale 



J F(p-t-cos 2 |/-i-gsin 2 4')sin 2 da 



sera toujours egal a zero, on n'aura qu'un seul terme du premier degre, savoir 



yj I ^(^(p-f-cos^-ngsin 2 ^) sin 2 $x. 



Ce terme ne sera d'ailleurs jamais nul. 



En effet, d'apres ce que nous avons observe plus haut, le coefficient de v) n'est autre 



JO 



chose que 2# ', en entendant par # ' la valeur, pour Q = Q , de la derivee -^ relative a la 



serie des ellipsoi'des de Maclaurin ou a celle des ellipsoides de Jacobi, selon que l'ellip- 

 soide E est ou n'est pas de revolution. Or on sait que cette derivee ne s'annule jamais, quelle 

 que soit celle des deux series ellipso'idales que Ton envisage. 



Ainsi, les equations que nous avons a resoudre seront de la forme 

 T a h = X, S 'v] h = S — S , 



X etant le second membre de l'equation (3) et les termes non ecrits etant des dimensions, 

 par rapport a a et r\ , depassant la premiere. 



De la on voit que, quels que soient X et S — S , pourvu qu'ils soient assez petits en 

 valeurs absolues, on pourra toujours satisfaire aux equations (3) et (4), et que cela donnera, 

 pour a et y), des expressions parfaitement determinees sous la forme des series entieres en X 

 et S — S Q , s'annulant quand on fait simultanement X= et S — S = 0. 



