Probleme de minimum dans unb question de stabilite des figures d'equilibre. 83 



La possibilite de nos equations etant ainsi mise en evidence, nous pouvons prendre pour 

 les quantites donnees, au lieu de X et S — 8 , les parametres a et yj eux-m6mes, et nous 

 pourrons leurs attribuer des valeurs quelconques, pourvu qu'elles soient suffisamment petites. 



36. Voyons maintenant si la fonction £ que nous venons de definir satisfait aux condi- 

 tions qui doivent 6tre remplies d'apres ce que nous avons admis dans ce qui precede. 



Nous avons d'abord les quatre conditions du n° 6, savoir: 



1° Le volume de la figure f doit e~tre egal a celui de l'ellipsoide E; 



2° Son centre de gravite doit se trouver a l'origine des coordonnees; 



3° Les plans des xy et des xz doivent §tre, pour cette figure, des plans de symetrie; 



4° Le moment d'inertie de cette figure par rapport a l'axe des z doit avoir une valeur 

 donnee 8. 



Or, d'apres ce que nous avons remarque au numero precedent, nous pouvons toujours 

 supposer notre fonction X, telle que, pour la figure qui lui correspond, la premiere et la troi- 

 sieme de ces conditions soient remplies, et quant a la quatrieme, elle est remplie en vertu 

 de l'equation (4). 



Nous n'avons done a nous arr^ter qu'a la deuxieme condition. 



Pour que cette condition soit remplie, il suffit que la figure consideree admette trois 

 plans de symetrie passant par l'origine, et nous avons vu dans le Memoire Sur les figures 

 d'equilibre que cela aura lieu dans la plupart des cas. 



Tout d'abord cela aura lieu dans tons les cas ou m est un nombre pair, car alors les "C rs 

 seront des fonctions paires par rapport a cosd^, d'ou il resulte que le plan des yz sera un 

 plan de symetrie pour notre figure, et les deux autres plans coordonnes le sont deja d'apres 

 la troisieme condition. 



D'autre part, cela aura lieu toutes les fois que l'ellipsoide E est de revolution et que 

 le nombre h n'est pas egal a 1 ; car alors, si h = 0, les '(„ ne dependront point de §, et la 

 figure consideree sera, par suite, une figure de revolution autour de l'axe des z, et, si h n'est 



pas nul, les £ rs seront des fonctions periodiques de ^ a periode -£-, d'ou Ton conclut que la 



figure consideree admettra k plans de symetrie passant par l'axe des z. Elle en admettra done, 

 si k n'est pas egal a 1, au moins deux, et elle admet, en outre, le plan des xy pour plan de 

 symetrie. 



Dans tous les cas signales la deuxieme condition sera done satisfaite. 



Quant a d'autres cas possibles, la figure consideree n'admettra que les deux plans de 

 symetrie exiges par la troisieme condition, et tout ce qu'on peut alors affirmer, e'est que le 

 centre de gravite sera situe sur l'axe des x. 



Remarquons toutefois que, si notre figure devient une figure d'equilibre, auquel cas les 



parametres a et yj verifieront l'equation A = 0, la deuxieme condition sera remplie meme 



dans les cas dont il s'agit. 



n* 



