84 A. LlAPOUNOFF. 



Or, dans notre etude, ces parametres doivent rester arbitraires. II faudra done, dans 

 les cas en question, faire une autre hypothese a l'egard de la fonction *(, ce de quoi nous 

 parlerons au numero suivant. 



Outre les conditions du n° 6, nous en avons encore deux, dont Tune s'exprime par l'ine- 

 galite (1) du n°8, l'autre, par l'egalite (5) du n° 11. 



La premiere, pour notre choix de la fonction £, sera remplie d'apres ce que nous avons 

 montre dans le Memoire Sur les figures d'equilibre. 



Montrons que la deuxieme le sera egalement. 



A cet effet, en nous reportant a l'equation (2), multiplions-la par ydv et integrons sur 

 toute la surface de la sphere S. Alors, comme on a 



il viendra 



j Y X d<7 = a m2k = 0, jyje = 0, 

 j[U f ('Q -h O (x'-+-tf)] yd* = — 1 ${* + &%**, 



ou d'ailleurs 



a? -+- y % = (p -+- cos 2 '| -+- q sin 2 ^ -+- X, ) sin 2 0. 



Par suite, en vertu de l'egalite (8) du n° 6, nous aurons 



j[U f (t)-*-Q (x 2 -*-f)]-Ad° = v) Jsin'O&dcx, 



ce qui est bien une egalite de la forme de celle (5) du n° 11, car il est facile de s'assurer 

 que, I etant au-dessous d'un nombre fixe, on pourra assigner a |yj| une limite superieure de 

 la forme Nl, ou N est un nombre fixe. 



En effet, par la definition meme du parametre a, on peut assigner une pareille limite 

 superieure a |a| et Ton aura evidemment, pour \S — 8 \, une limite superieure de la m6me 

 forme. Done la mfrne chose aura aussi lieu pour |v)|, comme on le voit par l'eqnation (4), 

 se reduisant a la forme 



S^t, -*-»•• = S — S , 



oil Sq ne sera jamais nul. 



37. Nous allons a present montrer comment il faudra modifier l'hypothese precedente 

 au sujet de la fonction £, poui' que toutes les conditions admises soient satisfaites m&me dans 

 les cas d'exception dont nous avons parle plus haut. 



Quant a ces cas, ce seront, pour la serie des ellipso'ides de Jacob i, tous ceux ou m est 

 un nombre impair et, pour la serie des ellipso'ides de Maclaurin, ceux ou k = 1, laquelle 

 egalite ne pourra avoir lieu que si m est enpore un nombre impair. 



