Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 80 



Si done on designe ce volume par Q, notre equation se reduira a 



(8) Q$ -+- A f Ycos(n,x)ds = 0. 



La question est rainenee ainsi a 1'examen des quantites 



A et j Zcos(w, x) ds, 



qu'il faudra developper suivaut les puissances des parametres a, •/), §. 



Considerons d'abord A et, en supposant que son developpemeut soit ordonue suivant les 

 puissances de (3, posons 



A = A H-A i p-^A 3 p a -+-.., 



de sorte que les A, seront des series entieres ena etv). 



Pour ce qui concerne A , nous aurons alors une expression identique a celle que Ton 

 avait pour A au n°35, a savoir 



A = i 2 a 2 -+- A 3 0L Z H H(£-4-S)aY)-4-C 3 Y) 3 H . 



Seulenient, si nous supposons que m soit un nombre impair, cette expression ne contiendra 

 que des puissances impaires de a, de sorte qu'il viendra 



A 2 = A t = A 6 = • ■ • = 0, 

 et tous les G { seront nuls. 



Quant aux autres A t , on voit aisement, par la formule (6), que, dans la meme suppo- 

 sition a l'egard du nombre m, les k t a indice i impair ne contiendront que des puissances 

 paires de a et ceux a indice pair, que des puissances impaires de a. D'ailleurs, comme 

 l'integrale 



FsinOcos^ da- 



sera toujours egale a zero, Aj ne contiendra que des termes s'annulant pour a = vj = 0. 

 Considerons maintenant l'integrale qui figure dans Pequation (8). 

 En y introduisant les variables et ^, on aura 



3an. 4>H3.-Mar. Oifl. *■" 



