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On peut d'ailleurs la presenter sous une autre forme, en supposant que tout soit 

 exprime au moyen des arguments cosO et sinOcos^, dont Y est une fonction entiere. Alors. 

 en posant, pour abreger, 



cosO = v, sin6cos<j; == w, 



on aura 



f 7c«fe,*)* = - q {log ^^£±1-1 (1_^_^)|? da 



+ iJ*[d_^)»_«,»J*. 



II ne reste maintenant qu'a developper cette expression suivant lcs puissances de a, 

 vj , (3 , cc qui se reduit a developper ces deux fonctions : 



I y P -+-?« y P 2 "p y P 



y ? + y ? + q 2Vp(p-i- 2 ) ' 4 r7p y p ( pH _j) ' 



et l'on voit que la serie que Ton obtient de cette maniere pour notre integrate ne contiendra 

 que des termes s'annulant pour a = yj = (3 = 0. On voit d'ailleurs que, m etant un nombre 

 impair, cette serie ne contiendra que des termes ou la somme des exposants de a et (3 sera 

 un nombre pair; car Fsera alors ime fonction impaire de w, et I, d'apres ce que nous avons 

 observe au numero precedent, ne cliangera pas quand a. (3 et w seront remplaces simultane- 

 ment par — a, — (3, — w. 



Nous ordonnerons le developpement de notre integrate suivant les puissances de (3, en 

 posant 



frcos(w,a;)efe = B -+- B, (3 -+- B 2 (3 2 h , 



de sorte que les B t representeront des series entieres en a et yj , qui seront paires ou impaires 

 par rapport a a, selon que % est un nombre pair ou impair. En particulier, B ne contiendra 

 que des termes s'annulant pour a = yi = 0. 



Cela pos6, revenons a l'equation (8), que nous pouvons maintenant ecrire comme il 

 suit: 



<?(3 -*- (Ac -i- A,|3 -*- A 2 (3 2 -*- • • •) (B ■+- B,(3 h- B 2 p 2 -h • • •) = 0. 



