Problbme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 93 



Par cette equation on voit immediatement que l'expression cberchee de (3 en fonction 

 de a et y) sera de la forme 



(9) p = _*^(i^r), 



r etant une serie, procedant suivant les puissances de a et yj et s'annulant pour a = yj = 0. 



On voit d'ailleurs que la serie T ne renfermera point de termes au-dessous de la 

 deuxieme dimension et que, par rapport aa, ce sera une fonction paire. 



Telle sera l'expression de [3, si m est un nombre impair. 



Quant au cas de m pair, il est facile de voir que B se reduira identiquement a zero, 

 et que, par suite, | a | , | yj | et | (3 | etant assez petits, notre equation ne pourra eitre satisfaite 

 qu'en posant (3 = 0. 



Ajoutons que Ton aura B = et, par consequent, (3 = meime dans le cas de m 

 impair, si, l'ellipso'ide considere etant de revolution, le nombre Jc est plus grand que 1 . 



Ainsi la nouvelle hypothese au sujet de la fonction £ se reduit a celle du n°35, dans 

 tous les cas ou cette derniere suffit. 



Nous pourrons done ne considerer que rhypothese du n°37, en regardant [3 comme une 

 fonction de a et vj definie par l'equation (8), et l'expression (9) sera pour cette fonction 

 valable dans tous les cas. 



39. Ayant determine (3 en fonction de a. et yj comme il vient d'etre montre et substi- 

 tuant son expression dans les equations (3) et (4), nous les reduirons a la forme 



(10) n = ^r(8— 8) -*-*(«, ^ 



ou les fonctions F(cc, y)) et 4>(a, yj), qui seront donnees par certaines series de puissances, 

 ne contiendront pas de termes au-dessous de la deuxieme dimension par rapport a a et yj; 

 et ces parametres seront ainsi assujettis a des equations toutes semblables a celles que nous 

 avons considerees au n° 35. 



En admettant ces equations, nous aurons 



et en meme temps les quatre conditions du n° 6 seront satisfaites. 



Montrons que les deux autres conditions dont nous avons parle au n°36 seront egale- 

 ment satisfaites. 



