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relative a la serie dcs figures d'equilibre ellipso'idales, laquelle serie,, daus le ca's de I'elli- 

 pso'ide de Jacobi de revolution, doit etre celle de Maclaurin. 



En effet, pour cette serie de figures, a sera une fonction de •/) , se presentant sous forme 

 d'une serie entiere ou il n'y aura pas de termes au-dessous du second degre; de sorte que, 

 si Ton substitue cette fonction dans l'expression ci-dessus de S et que Ton developpe le 

 resultat suivant les puissances de v) , il viendra 



S = S -*- S' ri -t- S 02 7] 2 h . 



D'autre part, la fonction dont il s'agit satisfera a 1'equatiou A = O, en vertu de 

 laquelle on a, d'apres (9), [3 = 0. 



Done, pour la valeur consideree de a. il viendra 



2^vp=2t«v. 



et notre figure f se reduira, par suite, a une figure ellipso'idale appartenant a la serie en 

 question. On devra done avoir l'egalite (12). 



Outre la fonction S, nous aurons encore a considerer celle que Ton aura pour A. en 

 exprimant cette constante au moyen de a et y\ . 



D'apres ce que nous avons vu au n° 38, cette fonction sera de la forme 



(13) A = A (l-*-H), 



H etant une serie procedant suivant les puissances entieres et positives de a et r, ou il n'y 

 aura pas de termes au-dessous de la deuxieme dimension. 



Cela pose, nous pouvons en venir a la recbercbe de l'accroissement restreint. 





An = = ? ' =2 \y 



1 S S n J ' 



ce qui se reduit a la recbercbe de la fonction de a et yj, par laquelle s'exprimera riutegrale 



oh oh' 



JJ^i = 2 ,7, 



quand les deux integrations indiquees seront supposees 6tre etendues au volume de notre 

 figure f. 



Dans ce but, nous allons d'abord cbercber la differentielle de cette fonction. 



