102 A. LlAPOUNOFF. 



Quant aux termes en a 4 , dont il y en aura deux quand n = 3, ils donneront en resultat 

 le terme 







X f ^ Y jj2_ 21W 



16 V& ' 3 



„4 



} 



qui pourra, peut-6tre, se reduire a zero; et, si c'est le cas, l'expression precedente ne 

 donnera pas, en general, tons les termes principaux du developpement de Ajll. Mais, dans 

 la recherche qui va suivre, nous n'aurons pas a considerer le terme qui manque. 



Pour cette recherche, les termes que nous venons de signaler ne suffiront pas seulement 

 dans le cas ou, n etant egal a 3, l'expression envisagee, savoir 



(iyj 2S * i -+- 2Sn >w* -+- lfi ^y^ ^ 3 j«, 



se reduit a un carre. Mais dans ce cas nous pourrons nous servir d'une autre expi'ession pour 

 AjFF, que nous allons maintenant signaler. 



43. Soit -/) a la valeur de v] pour une figure d'equilibre correspondant a, une valeur 

 donnee de a, cette figure etant, dans le cas de m = h = 2. uu ellipsoide a trois axes inegaux 

 et, dans les autres cas singuliers, une figure d'equilibre non ellipsoi'dale. 



D'apres ce que nous avons vu dans le Memoire Sur les figures d'equilibre, cette valeur 

 vi a representee une fonction parfaitement determinee de a. satisfaisant a l'equation A = 

 et developpable, tant que | a | est assez petit, suivant les puissances entieres et positives de a. 



Cela etant, posons 



V) = >) e ■+■ 6 



et cherchons le developpement de Ajll suivant les puissances de e. en nous bornant toutefois 

 aux termes dont les degres ne depassent pas le second. 



En entendant par AIl a l'accroissement de n dans le passage de l'ellipsoi'de E a la figure 

 d'equilibre en question, nous aurons 



dn\ i ( d 2 a 



A.n = AIT -*- 



1 a \ or, J 2 \ d-rf 



ou l'on doit entendre par n son expression pom' la figure f, et ou les parentheses servent 

 a designer que vj doit etre remplace par yj a . 



On a ici 



M M 

 ATT =•=$ — rf° (V — 71 



en employant l'indice a pour designer qu'il s'agit des quantites relatives a la figure d'equi- 

 libre consideree. 



