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Eii le faisant, pour cc qui couccrue la sccoude formule, et cu rcniarquant que 



i -4. oo S oV^_ 1 + 2 o^ + ...-^ + ... 

 1 ~*~ 2il ° 3? I *i J 2U ° S,^ - S> * ' 



uous obtenons 



/ A2n\ 71/, , 



d 2 n\ MLS' 



di? / — s* 



less termes qui suiveut s'annulant avec a. 



Quaut a la premiere formule, nous uous bornerons a la presenter sous la forme 



(£) = | («■.-■».) ('-•••), 



puisque le premier terme du developpement de la difference ilf a — M ue peut pas etre assigue 

 d'une fac,on generate. 



D'apres tout cela, et en entendant par f\(a) et / 2 (a) certaiues fouctions s'annulant 

 avec a, nous aurons pour Ajll l'expression suivante: 



(20) AJI = f^=^^ dy. -+- |j (Jf a — Jf.) [1-4- /»] 6 -+- ^ [W, (a)] ? 



VII. — EXAMEN DES CAS SINGULIERS. 



44. Nous allons maintenant recberclier les couditious de minimum de 11 dans les cas 

 singuliers. 



Si, par la nature du probleine cousidere, la figure F n'est assujettie a aucunes condi- 

 tions speciales, il n'y aura, comme nous avons vu (n° 30), que deux cas siuguliers, dont l'un, 

 ou m = h = 2, est relatif aux ellipso'ides de revolution, l'autre, ou m = k = 3, se rapporte 

 aux ellipso'ides a trois axes inegaux. Le premier cas est celui par lequel ou passe de la serie 

 des ellipso'ides de Maclaurin a celle des ellipso'ides de Jacobi; le deuxieme, celui par lequel 

 on passe de cette derniere serie a celle de certaiues figures d'equilibre non ellipsoi'dales, 

 dites les figures pyriformes. 



Si, au contraire, on ne doit prendre pour F que des figures satisfaisant a certaiues 

 conditions speciales, ce qui arrive dans les problemes de minimum conditionuel, il y aura de 

 nouveaux cas singuliers, ou Ton pourra passer des ellipso'ides a certaines autres series de 

 figures d'equilibre non ellipso'idales. 



