Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 105 



Au n° 3 1 , nous avons signale les principaux problemes de cette espece. 



En passant en revue ces problemes, on ne manquera pas de remarquer que, dans les 

 cas singuliers qui leur correspondent, la figure f, telle que nous l'avons definie dans la Section 

 precedente, satisfera toujours aux conditions imposees a la figure F. 



C'est ainsi que dans le cas de w = 4, &=0, qui devient un cas singulier des ellipsoi'des 

 de revolution quand on introduit la condition que F doit &tre une figure de revolution, la 

 figure f sera encore de revolution, comme on s'en assure aisement en ramarquant que (S se 

 reduit alors a zero. 



Dans ce qui suit, nous supposerons toujours que, s'il s'agit d'un minimum conditionnel, 

 on ne considere que des problemes tels que ceux du n°31, c.-a-d. tels que, dans les cas 

 singuliers correspondants, la figure f, quels que soient aetvi, satisfasse aux conditions que 

 doit verifier la figure F. Par suite de cela, la figure f ne sera qu'une forme particuliere de 

 la figure F, et cette derniere pourra s'y reduire. 



Outre les conditions qui peuvent se presenter dans les problemes de minimum con- 

 ditionnel, et qui varient d'un probleme a un autre, nous en avons encore un certain nombre 

 de telles qui seront admises dans tous les problemes considered. Ce sont les conditions dont 

 il a ete parle au n° 4. 



Parmi ces conditions, il y en a une qui a ete introduite pour empticher de faire tourner 

 la figure F autour de l'axe des z, et qui a une forme differente, selon que l'ellipsoi'de con- 

 sidere est ou n'est pas de revolution. 



Jusqu'a present nous n'avons utilise cette condition que dans le cas des ellipsoides a 

 trois axes inegaux, auquel cas elle avait pour consequence l'egalite a 2 3 = 0. 



Maintenant nous en tiendrons compte dans le cas aussi des ellipsoi'des de revolution, 

 en lui donnant alors, si le nombre k n'est pas egal a zero, la forme suivante: 



f P wft (cosG)sin^ da f GKdu = 



Quant au cas de k = 0, nous n'aurons besoin d'aucune pareille condition. 



En admettant cette condition, nous aurons, comme il a ete deja observe au n°21, 



a m,2k— i == °> 



laquelle egalite aura ainsi lieu dans les cas singuliers des ellipsoi'des de revolution, quand le 

 nombre k n'est pas nul. 



En m6me temps, d'apres le choix de la figure f, nous aurons l'egalite 



a mfik = °i 



qui aura lieu dans tous les cas singuliers. 



3an. $H3.-MaT. Otj. 1* 



