106 A. LlAPOUNOFF. 



Cela pose, passous a notre etude, ou nous ne ferous pas dc distinction eutre les prob- 

 lemes de minimum conditionnel et ceux de minimum non conditionnel, en les embrassant 

 tous par une seule analyse. 



45. Nous devons, en nous placant dans un des cas singuliers. et tenant compte des 

 conditions qui correspondent au probleme considere, examiner l'accroissement de EL dans la 

 seule supposition que le nombre L, representant la plus grande valeur absolue de la fonction 

 Z, soit au-dessous d'une certaine limite, qui peut du reste etre prise aussi petite que Ton 

 veut. 



Or, dans notre hypothese au sujet de la figure f, cette supposition est equivalente a 

 celle que les nombres I et X soient assez petits, ou bien encore, a celle que les trois nombres 



(1) |«|, \\\, X 



soient assez petits. 



En effet, les parametres a et yj sont lies a la fonction Z par les equations (3) et (4) 

 du n°35, dont les seconds membres tendent vers zero avec L. Done a et yj tendront encore 

 vers zero avec L, et il en sera des lors de merae du nombre I, qui represente la plus grande 

 valeur absolue de la fonction '(. Or, I tendant vers zero. avec L, le nombre A, qui ne depasse 

 pas la somme l-*-L, sera dans le m^me cas. 



Nous pouvons done traiter notre probleme dans la supposition que les trois nombres (1) 

 (et, par suite, aussi le nombre I) soient au-dessous des limites telles que Ton veut. 



Cela pose, nous devons recbercher quels sont les cas ou, dans cette supposition, 1' expres- 

 sion 



An = A,n -+- A 2 n 



n'est susceptible que des valeurs positives. 



Voyons a quoi se reduira cette question. 



Le second terme, A 2 n, est ici l'accroissement reduit, et il est facile de voir ce qu'il 

 devient actuellement: pour en avoir une expression relative aux cas consideres, il n'y a qu'a 

 poser dans celle, qui se rapportait aux cas ordinaires, 



a m?k = 0, 



en faisant encore, si l'ellipso'ide dont il s'agit est de revolution, et que le nombre k ne soit 

 pas nul, 



% 2 *-i = °- 

 Par suite de cela, en nous reportant a ce qui a ete montre dans les Sections IV et V, 



