Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 107 



nous pouvons conclure que, dans les suppositions actuelles, le nombre t sera positif, quel 

 que soit le cas singulier que Ton veut examiner. 



Done a present l'accroissement reduit sera toujours positif, des que I et X sont assez 

 petits, et il ne pourra d'ailleurs s'annuler que si l'integrale 



JVh-X')** 



est nulle, ce qui arrive, quand la figure F se reduit a f . 



Par la on voit que notre question dependra exclusivement de l'accroissement restreint 

 Ajll, et nous pouvons ainsi enoncer cette conclusion: 



Toutes les Ms que, |a| et |yj| etant assez petits, Ajll ne sera susceptible que des 

 valeurs positives, il y aura un minimum de n , et toutes les fois que, dans les m6mes condi- 

 tions, cet accroissement pourra devenir negatif, il n'y en aura pas. 



46. La question etant ramenee a l'examen de l'accroissement restreint, nous pouvons 

 la resoudre d'apres les formules developpees dans la Section precedente. Mais d'abord nous 

 devons faire quelques remarques au sujet de certaines quantites qui figurent dans ces for- 

 mules. 



Entre autres, on y rencontre les quantites S' et M' , qui represented, a des facteurs 

 positifs pres, les derivees, par rapport a la vitesse angulaire, du moment d'inertie et du 

 moment des quantites de mouvement pour les figures ellipso'idales d'equilibre. 



On sait que ponr les ellipso'ides de Jacobi ces derivees sont toujours negatives. Quant 

 aux ellipso'ides de Maclaurin, elles sont, toutes les deux, positives ou negatives, suivant 

 que l'ellipsoi'de considere est moins aplati ou plus aplati que celui qui correspond au 

 maximum de la vitesse angulaire, et qui est defini par l'equation 



T' = 



Dans le Memoire Sur les figures d'equilibre, nous avons recherche toutes les equations 

 de la forme 



K,n = 0, 



qui donnent des ellipso'ides moins aplati que celui -la, et nous avons trouve que ces equations 



sont les suivantes: 



T 2 ' 2 = et T 3 ; 3 = 0. 



Done, pour les ellipso'ides de revolution, il y aura deux cas singuliers ou l'on aura 



S' > et iW ' > 0, 



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