Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'kouilibre. 1 09 



Dans la deuxieme Partie du Travail, dont la premiere est citee ici sous le titre Sur les 

 figwes d'equilibre, nous verrons que, pour les ellipso'ides de revolution, les cas de la troisieme 

 classe ne se presenteront jamais. Nous verrons d'ailleurs que les cas ou h — appartiendront 

 toujours a la premiere classe et que ceux ou k n'est pas nul seront de la deuxieme classe. 



Quant aux cas des ellipso'ides a trois axes inegaux, dont nous nous proposons de nous 

 occuper dans la troisieme Partie dudit Travail, nous ne pourrions enoncer, en ce moment, 

 que quelques resultats particuliers, et nous nous bornerons a dire que le cas de m = h = 3 

 appartiendra a la deuxieme classe. 



Apres ces remarques, revenons a notre objet. 



47. Nous avons signale, pour l'accroissement restreint, deux expressions differentes. 

 Arretons-nous d'abord a celle du n° 42, d'ou Ton peut tirer immediatement plusieurs con- 

 clusions decisives. 



Tout d'abord, on peut en conclure que dans les cas de la premiere classe il n'y aura 

 pas de minimum. 



En effet, si nous posons yj = 0, en developpant ensuite \Yl suivant les puissances crois- 

 santes de a, nous aurons, d'apres ce que nous avons vu, 



\n = — i- T ^ 2 «3-^..., 



les termes qui suivent etant des degres superieurs au troisieme. 



Done, A 2 n' etant pas nul, AjII pourra changer de signe et n ne sera pas minimum. 



D'apres ce que nous avons remarque plus haut, tel sera, par exemple, le cas dew = 4, 

 1c = 0, qui devient un cas singulier pour les ellipso'ides de revolution dans certains problemes 

 de minimum conditionnel (n°31). 



Puis, nous pouvons conclure que dans les cas de la troisieme classe, si Ton pouvait 

 jamais les rencontrer, il n'y aurait pas non plus de minimum. 



Pour s'en assurer, reportons-nous a l'expression que nous avons trouvee au n°42 pour 

 l'ensemble des termes principaux dans le developpement de Ajll. 



Comme, dans les cas dont il s'agit, on a 



cette expression devient 



A 2 — A 3 — 0, 



De la on voit que, si l'on exprime Y) en fonction de a d'apres Pegalite 



