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et que Ton developpe ensuite Ajll suivant les puissances croissantes de a, il viendra 



les termes suivants etant des degres superieurs au quatrieme. 



Or, dans les cas en question, S' sera toujours un norabre negatif. 



En effet, nous avons deja dit que de pareils cas ne se presentent pas pour les ellipsoides 

 de revolution, et, pour les ellipsoides a trois axes inegaux, on a toujours S' Q < 0. 



Done, |a| etant assez petit, F expression ci-dessus de Ajll sera negative. II n'y aura 

 done pas de minimum. 



Nous arrivons ainsi a la conclusion que le minimum de n ne pourra avoir lieu que dans 

 les cas de la deuxieme classe. 



Arretons-nous done a ces cas, ou Fon aura A 2 = 0, et ou A 3 ne sera pas nul. 



Nous aurons alors, pour Fensemble des termes principaux de AjUI, Fexpression (19) 

 du n° 42 et, en la designant par K, nous pourrons ecrire 



Ajll = K -+- s x V) 2 -+- £ 2 Y)<x 2 -+- e 3 a 4 , 



ou e 15 e 2 , £ 3 represented certaines series entieres en a et rj, qui s'annulent pour a = y) = 0. 



Comme K est une forme quadratique en yj et a 2 et que d'autre part, | a | et | yj | etant 

 assez petits, e 15 e 2 , e s deviennent aussi petits en valeurs absolues que Fon veut, on voit par 

 la que, pour qu'il y ait minimum, K ne doit pas 6tre susceptible des valeurs negatives. 

 D'ailleurs, on peut affirmer que le minimum aura certainement lieu, si K est une forme 

 definie positive. 



Voyons a quoi cette condition se reduira. 



Comme 



R S 3I . Q ff B a y_ fi\ B% A \ 4 



2£ 2 * + 2S (jDYI ^WyS^^ ^sj a : 



on voit qu'elle s'exprimera par ces inegalites: 



/?' M' "> ^o-^o v I Bo v 7? 2 9 A I Q o 2 ^o 2 v 2 7? 9 "*> 



o M > u, g ^ 2 Y ^ Y^ ^ 3 y -4^2- Y ^ > «■ 



Or la premiere, d'apres ce que nous avons vu au numero precedent, sera toujours 

 remplie. 



Q 



Quant a la seconde inegalite, en la multipliant par — (S 2 et. en tenant compte de ce que 



M; = S* + 2Q S S^ 



