Problem de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibke. 113 



ellc uc conservera, dans ces conditions, un signe invariable que si les racines de l'equation 

 du second degre en x 



F (a) h- F t (a)x -f- [F,(0) — c] z 2 = 0, 



| a | etant assez petit, sont egales ou imaginaires, auquel cas elle aura le signe de F a (0) — c. 



De la on peut conclure que, pour qu'il y ait minimum, il faut qu'on se trouve dans le cas 

 des racines imaginaires pour toute valeur negative de c, des que, c etant fixe, a devient assez 

 petit en valeur absolue sans 6tre nul. On voit d'ailleurs que, si Ton se trouve dans ce cas 

 pour une valeur positive de c moindre que F 2 (0), le minimum aura certainement lieu. 



De cette maniere, on est conduit a cnerclier les conditions, sous lesquelles on ait, | a | 

 etant assez petit, 



(3) 4[F 2 (0)-c]F (a)-[F 1 (a)P>0, 



dans ces deux suppositions: 



1° c est un nombre negatif quelconque; 



2° c est un nombre positif, plus petit que F 2 (0) et d'ailleurs aussi petit que Ton veut. 



La premiere supposition servira a trouver les conditions necessaires, la seconde, celles 

 suffisantes. Mais nous verrons qu'en definitive tout se reduira a une seule condition, laquelle 

 sera ainsi une condition necessaire et suffisante. 



Yenons done a l'examen de l'inegalite (3). 



49. On a 



[*»]■ = 2 Cf^F^*)**, 



et Ton trouve, en difterentiant l'expressiou de F 1 (oc) signalee plus baut, 

 F» = | Mi [l - f x (a) -h fc-^ />.)} 



M'^ representant la derivee ~j-^> 



Done, si Ton pose, pour abreger, 



[l^^(«)][l^/i(«)^^^f;(«)2_l = f(a), 



3au. $H3.-Mar. Ota. ^ 



