116 A. LlAPOUNOFF. 



nous aurons 



(6) *;(«)= <T 2 f (M a — M )(gcc-A )da, 



ou d'ailleurs g pourra se reduire a zero. 



De la on voit que, si Ton developpe les fonctions 



4F 2 (0)F (a)-[F 1 («)P et F (a) 



suivant les puissances croissantes de a, le premier terme de F (a) ne pourra jamais &tre de 

 degre moins eleve que le premier terme de 4F 2 (0)F (a) — [-^(a)] 2 . 



Par suite, en revenant a l'inegalite (3), nous pouvons conclure que, pour qu'elle puisse 

 6tre satisfaite quand on prend pour c un nombre suffisamraent petit en valeur absolue, il faut 

 et il suffit que Ton ait 



4F 2 (0)F (a)-[F,(a)P>0, 



des que | a | est assez petit. 



Done cette derniere inegalite represente une condition necessaire et suffisante de mi- 

 nimum. 



Elle se reduit d'ailleurs a une forme tres simple. 



En effet, nous avons, pour le premier membre, l'expression (5), ou BS' , comme nous 

 le savons, est un nombre positif. Notre inegalite est done equivalente a cellc-ci 



J a (itf a — i¥ )(a H-...)rfa>0 5 



et, comme il ne s'agit que des valeurs assez petites de \x\, on pent la remplacer par la 

 suivante 



C(M % — M )«dy. > 0. 



Or, | a | etant assez petit, la fonction M a — M ne changera pas de signe entre les 

 limites de l'integrale, et celle-ci aura, par suite, le meme signe que M y — M , quel que 

 soit le signe de a. 



Done, pour qu'il y ait minimum il faut et il suffit que Ton ait 



M^ — M > 0, 

 totttes les fois que a est assez petit en valeur absolue. 



