Problene de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 1 1 7 



50. Le resultat precedent a ete obtenu dans la supposition que A 2 = 0. Mais le cas 

 ou A 2 n'est pas nul ne presente pas d'exception. 



En effet, dans ce cas, en se bornant aux termes du premier degre, on a 



B 



et, par suite, 



s« = So-s;#«+ 



M^M.-M'^a. 



Done M a — M cbangera de signe avec a, et nous avons vu au n°47 que, dans le cas 

 considere, il n'y a pas de minimum. 



Supposons maintenant que A 2 = 0. 



Alors, d'apres ce que nous avons trouve au numero precedent, 



M a -M = (^yQ S B-M;^ f 



et de la, en appliquant la proposition que nous venons d'obtenir, on pourra deduire tous les 

 autres resultats du n° 47. 



La m§me proposition fait d'ailleurs voir comment il faudra proceder dans le cas d'in- 

 certitude signale dans ce numero: tout se reduit a reconnaitre si la valeur M , que la fonc- 

 tion M x prend pour l'ellipsoide E, est ou n'est pas minimum, et pour cela il n'y a qu'a 

 rechercher le premier terme du developpement de M a — M suivant les puissances crois- 

 santes de a. Si ce terme est de degre impair, on conclura que II n'est pas minimum pour 

 l'ellipsoide E, et, si l'on arrive dans cette recherche a un terme de degre pair, tout dependra 

 du signe de son coefficient, et il y aura un minimum de n ou non, selon que ce coefficient 

 est positif ou negatif. 



51. Appliquons la proposition obtenue au cas singulier le plus important, a celui de 

 l'ellipsoide de Jacobi de revolution. 



La fonction Jf a est proportionnelle au carre du moment des quantites de mouvement 

 pour une figure d'equilibre, et dans le cas actuel cette figure sera un ellipsoi'de a trois axes 

 inegaux. 



Or on sait que, pour les ellipsoi'des a trois axes inegaux, le moment des quantites de 

 mouvement est toujours plus grand que celui qui correspond a l'ellipso'ide de revolution dont 



