Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 123 



Or la fonction '( peut 6tre presentee sous la forme d'une serie procedant suivant les 

 puissances entieres et positives de a et e. 



Par suite, |a| et |&| etant assez petits, on pourra trouver des nombres fixes N et N 1 , 



tels qu'on ait 



Y 

 da ) < No? -+- N't\ 



*w 



G du 



Cela etant, il viendra 

 (8) d 2 < iV r a 2 -t-iV's 2 -f-2d 2 ; 



et le rapprochement des inegalites (7) et (8) conduit a la proposition qu'il fallait etablir. 



VIII. — EXAMEN DES FIGURES D'EQUILIBRE NON ELLIPSOIDALES. 



53. Si nous laissons de cote le cas de l'ellipsoi'de de Jacobi de revolution, dans chacun 

 des autres cas singuliers, Fellipsoide E appartiendra a une certaine serie continue de figures 

 d'equilibre non ellipsoidales, ou Ton passe d'une figure a une autre en variant le parametre a 

 considere precedemment. 



Soit f une figure de cette serie. 



En designant par o= la valeur correspondante de a et en supposant | a 1 suffisamment 

 petit, nous allons nous occuper maintenant de la question sur les conditions de minimum de 

 l'expression 



(i) n = ^-v 



pour la figure f . 



II est clair que, s'il s'agit de minimum non conditionnel, il n'y aura a, considerer dans 

 cette question que les figures d'equilibre dites pyriformes, qui seront alors les seules pour 

 lesquelles il y aura une incertitude. 



Au contraire, dans les problemes de minimum conditionnel on pourra rencontrer d'autres 

 series de figures d'equilibre, et, quand il s'agira d'un tel probleme, nous supposerons toujours 

 que la figure f appartient a la m6me serie que l'ellipsojide representant pour ce probleme un 

 cas singulier. 



Nous aurons principalement en vue les problemes consideres au n° 3 1 , ou l'ellipsoi'de 

 sera remplace par la figure f . Mais notre analyse s'appliquera egalement a un tout autre 



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