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et ces fonctions jouissent des proprietes suivantes: 



1° Elles s'annulent lorsqu'on pose a — a = et yj — yj a = ; 



2° Elles sont developpables suivant les puissances entieres et positives des trois argu- 

 ments ci-dessus, quand ils sont assez petits en valeurs absolues; 



3° Les termes du premier degre dans leurs developpements se reduisent respectivc- 

 ment a 



y(a — a ) et 2<S ' (yj — vjj. 



De la on conclut immediatement que, \ tendant vers zero, a — a et yj — rv serout 

 dans le meme cas. 



Cela pose, nous arrivons, en resume, a la conclusion que, si la figure f est assez peu 

 differente de l'ellipso'ide E, on peut, en recherckant les conditions de minimum de 11, reduire 

 la figure F a la figure f, en se bornant ainsi a la consideration de la fonction de a et vj, que 

 devient n pour cette derniere figure. 



C'est seulement dans cette supposition que nous allons traiter notre probleme. 



54. La question etant ramenee a celle de minimum d'une certaine fonction, on pourrait 

 y appliquer la tbeorie generale, developpee par M. Po in care dans son Memoire connu Sur 

 Veqwlibre d'une masse fluide animee dun mouvement de rotation. Mais nous preferons 

 d'aborder directement le probleme que nous avons a resoudre. 



Reportons-nous done a la formule (1), en supposant que S et V soient les fonctions 

 de a et yj representant ces quantites poiu- la figure f . 



En nous servant, pour designer les differentielles relatives aux parametres a et yj , 

 comme precedemment, de la caracteristique o, nous aurons 



m = — ^zs — sf. 



Or, pour 8F, nous avons deja trouve une expression, qui est donnee par la formule 

 (17) du n°42. 



D'apres cette formulle, il vient 



m = ^h-^ — ^SS — A8*, 

 ou 



(2) * = i- J Yd<7 J 6 du , 



