Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibue. 131 



Aiusi il y aura un uiinimuni de n ou non, selon que le moment des quantites de mou- 

 vement, correspondant a la figure d'equilibre consideree, est plus grand ou plus petit que 

 celui qui correspond a l'ellipso'ide. 



C'est en cela que consiste le principe de M. Poincare dont il a ete parle dans l'lntro- 

 duction. 



55. En revenant aux notations du n° 53, supposons que Ton se trouve dans le cas ou 

 la figure f correspond a un minimum de D et, en supposant que les nombres | a 1 et \ soient 

 assez petits, cherchons a assigner a All une limite inferieure en fonction de la deviation de 

 la figure F a partir de la figure f . 



En faisant abstraction du cas ou M a — M serait egal a zero quel que soit a , et ou il 

 n'y aurait pas a proprement parler de minimum *), nous allons done supposer que Ton ait 



M a — M > 0, 



tant pour a = a que pour d'autres valeurs suffisamment petites de a de m£nie signe que a . 



Alors la forme quadratique en Sa et Syj , par laquelle s'exprimait la differentielle 8 2 H 

 consideree au numero precedent, sera definie positive. 



Par suite, |a — a | et | vj — v) a | etant assez petits, on pourra assigner a Ajll une limite 



inferieure de la forme 



n (a — a ) 2 -t- w'(v) — vi ao ) 2 , 



ou n et n' sont des nombres positifs, independants de a et vj. 



D'autre part, L etant assez petit, on aura pour A 2 I1 une limite inferieure de la meme 



a 2 , ou 



It 

 forme qu'au n°52, a savoir, — ^d 2 , ou 



7k 



On aura done 



All > «(a — a ) 2 H-w'(v] — V) a ) 2 -*- ^ 2 . 



Or, en entendant par d la deviation de la figure F a partir de la figure f , on aura 

 evidemment 



d<r -+- ^ 



*) Dans ce cas, si l'on pouvait jamais le rencoatrer, II ne changerait pas quand on passe d'unc figure a une 

 autre, dans la seric consideree de figures d'equilibre, et il n'y aurait de minimum que si la figure F etait assujettic a 

 la condition de ne se reduire point a des figures de cette serie. 



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