Probleme de minimum dans une question de stabilite des figures d'equilibre. 183 



Soit F la figure d'equilibre envisagee, que Ton suppose 6tre soit un ellipsoide, soit une 

 de ces figures d'equilibre non ellipsoi'dales dont il a ete question dans la Section precedente. 



En voulant comparer a cette figure une figure quelconque F du liquide, nous suppo- 

 serons que la figure F soit placee par rapport a la figure F de maniere que les conditions 

 admises dans ce qui precede soient remplies, et nous allons ensuite considerer, quand F est 

 un ellipso'ide, l'element designe precedemment par L (n° 28) et, quand F est une figure non 

 ellipso'idale, l'element designe par \ (n° 53). C'est cet element, qui sera designe maintenant 

 par I *), que nous allons introduire ici au lieu de ce que nous avons appele ecart. 



En meme temps nous allons considerer un autre element, que nous designerons par 8 , et 

 qui representera, pour la meme position de la figure F par rapport a F , le volume de la 

 partie de la figure F qui se trouve a l'exterieur de la figure F ou, ce qui revient au meme, 

 le volume de la partie de F qui se trouve a l'exterieur de F. 



Si F est une figure de revolution, 8 ne sera autre chose que l'element appele prece- 

 demment la deviation et designe par d. Dans le cas contraire, 8 sera en general plus grand 

 que d. Toutefois les inegalites etablies dans les numeros 32, 52 et 55 subsisteront, comme 

 on le voit immediatement, si Ton y remplace d par 8; de sorte que, II etant minimum pour 

 la figure F , on aura, en supposant I suffisamment petit, 



(1) An > pl 2n , 



ou p est un nombre positif fixe suffisamment petit et n un entier que Ton pourra prendre 

 egal a 1, excepte dans les cas singuliers des ellipso'ides ou n sera toujours plus grand que 1. 



II est evident que, I ayant une valeur donnee, 8 admettra un certain maximum de la 

 forme I® (1), ou <p(7) est une fonction positive dont toutes les valeurs sont au-dessous d'une 

 certaine limite fixe. Cette fonction sera d'ailleurs telle que, I ne depassant pas un nombre 

 donne quelconque, elle admettra un minimum non nul. 



Quant au minimum de 8 pour une valeur donnee de I, il est clair qu'il sera toujours 

 egal a zero. 



Cela pose, venons a la question de stabilite. 



57. Concevons une masse fluide liomogene, dont les particules s'attirent mutuellement 

 suivant la loi de Newton, et qui tourne uniformement autour d'un axe avec une vitesse 

 angulaire to , en gardant une figure invariable F . 



Si Ton veut examiner la stabilite de cette figure, on doit supposer que le mouvement 

 de rotation dont le liquide est ainsi anime eprouve une petite perturbation, et etudier ensuite 

 le mouvement trouble du liquide. 



*) Nous n'aurons plus a considerer la figure auxiliaire f et la fonction X, qui lui correspond, de sorte que la 

 lettre I, employee precedemment pour representer la plus grande valeur absolue de la fonction £, ne se rencontrnra 

 plus dans ce sens. 



