PROBLEME DE MINIMUM DANS UNE QUESTION DE STABILITE DES FIGURES D'EQUILIBRE. 137 



De la, eu egard a la definition de IIj , on conclut que I ne pourra devenir egal a l t , tant 

 que o ne devient pas inferieur a il. 



Done, si le mouvement se fait d'une maniere continue, de sorte que I et 8 varient con- 

 tinument avec le temps, on aura, a partir de l'instant initial, ces deux inegalit6s 



* < hi o > zl , 



et Ton pourra etre certain que la premiere ne cessera d'avoir lieu, tant que la deuxieme est 

 remplie. On voit d'ailleurs que le mouvement trouble jouira de cette propriete, quelque petits 

 que soient les nombres l x et t, pourvu que les perturbations soient assez petites. 



C'est une pareille circonstance que j'ai prise pour signe de la stabilite dans le Memoire 

 Sii/r la stabilite des figures ellipsdidales d'equilibre. 



Le liquide a ete suppose dans ce qui vient d'etre developpe sans viscosite. Mais dans 

 le cas d'un liquide visqueux on arrivera a la m£me conclusion, car alors il faudra seulement 

 remplacer l'equation (2) par Pinegalite 



J_ T -+- n -*- M — M o ^ JL jm . n(« -+. M ~ M o 



et il n'y aura ensuite rien a changer dans les raisonnements precedents *). 



58. La conclusion que nous avons obtenue est bien incomplete. Mais l'equation des 

 forces vives, a elle seule, ne peut donner rien de plus, et ce n'est que par une etude appro- 

 fondie de toutes les equations du probleme que Ton puisse esperer en obtenir une veritable 

 solution. Or, une pareille etude n'a pas encore ete faite. 



II est vrai que M. Poincare, dans son Memoire Sur Vequilibre d'une masse fluide 

 amimee d'wi mouvement de rotation, s'est occupe de la question des petites oscillations et en 

 a tire plusieurs conclusions au sujet de la stabilite. Mais, comme on le fait d'ordinaire dans 

 ces sortes de recberches, il s'est borne aux equations lineaires, que Ton obtient en negli- 

 geant, dans les equations differentielles du probleme, certains termes censes 6tre petits, et 

 les conclusions obtenues par cette voie ne peuvent 6tre considerees comme rigoureusement 

 etablies. 



Done, quand on dit qu'une figure d'equilibre correspondant a un minimum de n est 

 stable, il ne faut pas croire qu'il ait ete demon tre que, les perturbations etant assez petites, 

 les figures que prendra le liquide, pendant le mouvement qui s'ensuit, differeront peu de la 

 figure d'equilibre, quelque loin que Von suive ce mouvement. Tout ce qui est demontre, c'est 



*) L'analyse precedente ne differe au foild pas de celle que j'avais l'intention d'exposer dans le premier Clia- 

 pitre du Memoire Sur la stabilite des figures ellipsoidales d'equilibre, mais que j'ai ensuite remplacee par celle qu'on 

 y trouve developpee. Dans l'Introduction de ce Memoire j'ai explique ce qui m'a engage a faire ce changement de 

 redaction. Mais je n'ai rien gagne par la pour ce qui concerne les conclusions sur la stabilite, et cependant l'analyse 

 en est devenue beaucoup plus compliquee. 



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