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que ces figures en differeront peu tant que Vinegalite 



I > tl 

 reste remplie. 



Toutefois, si Ton etait certain que cette inegalite ne cessera d'avoir lieu tant que I ne 

 depasse pas l x , on pourrait affirmer que la figure du liquide differera toujows peu de la figure 

 d'6quilibre. Mais, pour qu'il en fut ainsi, il faudrait que les perturbations satisfissent a cer- 

 taines conditions, et de pareilles conditions ne sont pas encore connues. C'est done seulement 

 en les recherchant qu'on pourra ajouter quelque chose a la conclusion que nous avons obtenue. 



A propos de cela, remarquons d'une facon generate que la necessite d'introduire telles 

 ou telles conditions, pour y assujettir les perturbations, est inevitable dans la question con- 

 sidered, et que, si Ton ne voulait imposer aux perturbations que la condition d'etre suffisam- 

 ment petites, on ne pourrait arriver a aucune conclusion. Meme la conclusion precedente, 

 quelque incomplete qu'elle soit, est basee sur certaines hypotheses: elle suppose, en effet, 

 une certaine continuity du mouvement. 



59. Dans ce qui precede, en parlant des figures qui different peu d'une figure d'equi- 

 libre, nous avons suppose qu'il s'agisse des figures pour lesquelles / est suffisamment petit. 



Or on pourrait attribuer a l'expression differ er peu un autre sens, en considerant, au 

 lieu de I, certaines autres quantites qui ne pussent s'annuler que pour la figure d'6quilibre 

 envisaged, et en entendant par des figures peu differentes de la figure d'equilibre celles pour 

 lesquelles ces quantites fussent petites. Seulement, pour qu'on puisse en tirer parti, il faudra 

 que, dans le cas de minimum, l'inegalite 



An > 



ait lieu, quel que soit I, pourvu que les quantites considerees soient assez petites. 



C'est ainsi que M. Duhem, dans ses recherches sur la stabilite de l'equilibre d'un 

 liquide {Journal de Mathematiques, 5 e serie, t. VII et VIII). introduit certaines integrates 

 de volume, en regardant comme petit tout changement de l'etat du liquide pour lequel ces 

 integrales sont petites. Seulement le choix de ces integrales n'est pas assez bien approprie a 

 la question considered. 



Dans les Recherches sw V Hydrodynamique, M. Duhem s'arrete a un autre choix, en 

 remplagant les integrales considerees auparavant par une seule qui, dans le cas d'un liquide 

 incompressible et homogene, se reduit a ce qui serait represente, avec nos notations, par 2o. 



Supposons done que Ton considere, au lieu de I, Pelement o et que, pour la figure 

 d'equilibre envisagee, 11 soit minimum dans ce sens que All soit positif toutes les fois que 8 

 est au-dessous d'une certaine limite fixe. 



Alors, en partant de l'equation des forces vives, on pourra demontrer que, les pertur- 

 bations etant assez petites, o restera au-dessous d'une limite assignee a l'avance, si petite 

 qu'elle soit, pendant toute la duree du mouvement. 



