PROBLEME DE MINIMUM DANS UNE QUESTION DE STABILITE DES FIGURES D'EQUILIBRE. 139 



C'est du reste ce que j'ai deja indique dans uiie des quatre theses qu'on trouve dans le 

 Memoire Sur la stabilite des figures ellipsoidales d'equilibre. 



Mais la question se pose: y a-t-il une figure d'equilibre pour laquelle II soit minimum 

 dans le sens defini ci-dessus? 



D'apres ce qui a ete observe dans l'lntroduction, si M n'est pas nul, 11 ne peut atteindre 

 sa limite inferieure precise pour aucune figure, et il est facile aussi de voir que, pour aucune 

 figure, il ne pourra non plus eitre minimum dans le sens qui nous interesse. 



Supposons done que Ton ait 



M = 0. 



Dans cette hypothese, les figures ellipsoidales d'equilibre se reduisent a une sphere, 

 et IT devient certainement un minimum pour cette figure. 



Mais ce minimum sera-t-il tel que All soit positif toutes les fois que 8 est assez petit? 



Ce sera bien le cas, si la limite inferieure precise de II correspond a une figure deter- 

 minee, car j'ai etabli autrefois que cette figure ne peut §tre qu'une sphere. 



Done, si Ton pouvait demontrer l'existence d'une telle figure, on pourrait affirmer que 

 dans le cas de la sphere il y a stabilite par rapport a 8 *). 



Mais on ne l'a pas encore fait; et si la figure dont il s'agit n'existe pas, le minimum 

 de II correspondant a la sphere ne sera qu'un minimum relatif et Ton ne pourra rien dire 

 au sujet du signe de All, des que I cesse d'etre assez petit. Done la conclusion que nous 

 venons de signaler est loin d'etre indubitable. 



Ainsi, m6me dans le cas de la sphere, le remplacement de I par 8 ne donne presque 

 rien; et quant a d'autres figures d'equilibre, ce remplacement n'est d'aucune utilite: laraison 

 en est que, M n'etant pas nul, n depend du moment d'inertie S, dont l'accroissement peut 

 devenir aussi grand qu'on veut, quelque petite que soit la valeur attribute a 8. 



Mais ne pourrait-on pas arriver a des conclusions utiles, en considerant un certain 

 autre element, choisi de telle facon que l'accroissement de S fut petit, sitot que cet element 

 serait petit? 



Peut-6tre; mais on aurait du trouver d'abord une methode, permettant d'examiner 

 l'accroissement de II sans supposer I suffisamment petit. Et a present nous ne pouvons le 

 faire que dans cette derniere hypothese, de sorte qu'en la rejettant nous serions oblige de 

 renoncer a toute possibility de resoudre le probleme de minimum. 



60. Revenons a la stabilite par rapport a I et supposons que, pour la figure d'equilibre 

 consideree, n ne soit pas minimum. 



Pourra-t-on affirmer alors que cette figure d'equilibre n'est pas stable? 



*) Dans le Memoire Probleme general de la stabilite du mouvement, j'ai insiste sur la necessite d'indiquer les 

 quantites qu'on suppose demeurer petites quand on parle de la stabilite, puisque la notion de stabilite n'a en elle- 

 meme rien d'absolu; et j'y ai introduit l'expression stabilite par rapport a telles ou telles quantites. 



