140 A. Liapounoff. — Probleme de minimum etc. 



S'il s'agit d'un liquide parfait, il ne semble pas que cette affirmation soit exacte, et, 

 peut-6tre, la stabilite pourra alors avoir lieu tout aussi bien que 1'instabilite, selon les 

 circonstances. On se trouve done dans une complete incertitude. 



II est vrai que dans le cas de minimum de II la question n'est pas non plus resolue 

 d'une maniere satisfaisante ; mais alors, en admettant qu'il y a stabilite, on peut du moins 

 s'appuyer sur les analogies que presentent les systemes materiels dont la position est definie 

 par un nombre limite de parametres. 



Quant au cas actuel, de pareilles analogies ne servent a rien. 



En effet, n n'etant pas minimum, l'energie totale ne sera certainement pas minimum 

 sous la condition de l'invariabilite du moment des quantites de mouvement *), et dans ce cas, 

 quand il s'agit d'un equilibre relatif par rapport a des axes doues d'un mouvement de rota- 

 tion, on ne peut arriver a aucune conclusion generate meme pour les systemes a un nombre 

 limite de parametres. Tout ce qu'on peut affirmer pour de tels systemes, e'est que l'instabi- 

 lite n'aura pas necessairement lieu, quand l'energie cesse d'etre minimum; car on sait que, 

 dans les problemes ou les equations differentielles du mouvement trouble sont lineaires, il 

 peut y avoir stabilite sans que l'energie soit minimum. 



Ce que nous venons de dire suppose qu'il n'y a pas, dans le systeme considere, de resi- 

 stances passives. 



Or, si nous en venons au cas ou le systeme est soumis a de pareilles resistances, la 

 chose devient toute differente. Alors, si Ton fait abstraction de certains cas singuliers. les 

 equations differentielles du mouvement trouble seront telles que, dans le cas ou l'energie 

 n'est pas un minimum, 1 'equation determinante aura des racines a parties reelles positives 

 et, s'il en est ainsi, il y aura certainement instability, comme je l'ai demontre dans le Me- 

 moire Probleme general de la stabilite du mouvement**). 



Pour ce qui concerne le probleme qui nous interesse. on se trouvera dans des condi- 

 tions analogues, si le liquide considere est visqueux. Done alors, II n'etant pas minimum, 

 l'instabilite devient tres vraisemblable, et Ton pourra, peut-6tre, la demontrer rigoureuse- 

 ment, en admettant, pour exprimer 1' effet de la viscosite, les formules de Navier, et en se 

 servant des considerations analogues a celles qui out ete developpees dans le Memoire cite 

 ci-dessus. II suffira pour cela d'etablir que les equations differentielles du mouvement 

 trouble admettent une solution particuliere de la nature de ces solutions que M. Poincare 

 a appelees asymptotiques, et il ne semble pas qu'on se heurte dans cette voie a des difficultes 

 insurmon tables, du moins pour ce qui concerne les cas ordinaires, ou la non-existence de 

 minimum se reconnait par un examen de la variation seconde de II. 



^ 



*) Sur la stabilite des figures ellipso'idules d'equilibre. 

 **) Une traduction, franchise de ce Memoire, faite par M. Davaux, vient de paraitre dans les Annates de la 

 Faculte des Sciences de Toulouse (2<» serie, t. IX). 



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